Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像经过点（0，1），f（x-2）是偶函数。函数f（x）的

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图像经过点（0，1），f（x-2）是偶函数。函数f（x）的图像与直线y=2x相切。且切点位于第一象限。
（1）求函数f（x）的解析式
（2）若对一切x属于［-1，1］，不等式f（x+t）小于f（x／2）恒成立，求实数t的取值范围

Answer 1

1.
1=f(0)=c
f(x-2)=a(x-2)^2+b(x-2)+1
因为f(x-2)是偶函数。
所以其图像关于y轴对称。
所以关于x的一次项的系数为零。
所以b-4a=0
函数图像与y=2x相切，
则ax^2+bx+1=2x
ax^2+bx-2x+1=0
判别式（b-2)^2-4a=0
即为：(b-2)^2=b
所以b=1
a=1/4
即f(x)=1/4x^2+x+1
2.
f(x)=1/4x^2+x+1
对称轴是直线x=-2
所以x/2＞x=-2
即f(x)在【-1，x/2】上是单调递增。
所以当x取-1时，f(x/2)=f(-1/2)=7/16
所以（-1/2+t)^2*1/4+(-1/2+t)+1＜7/16
即t＞（根号7-3）/2