Question

已知函数f(x)=∣x-a∣,其中a>0 (1)当a=1时 求不等式f²(x)≤2的解集

(2)已知函数g（x）=f(x+a)+2f(x)的最小值为4，求实数a的值
急！！！

Answer 1

(1)不等式即：
(x-1)²≤2
-√2≤(x-1)≤√2
1-√2≤x≤1+√2

(2)g（x）=f(x+a)+2f(x)
=|x+a-a|+2|x-a|
=|x|+2|x-a|
=|x|+0.5|x-a|+1.5|a-x| 【根据|x|+|y|+|z|>=|x+y+z|】
>=|x+0.5x-0.5a+1.5a-1.5x|=|a|>=4
所以a>=4或a<=-4 （若a>0舍负值）

追问

第二问不用分类讨论么？还有 求出a的值不是一个确定的值么？

追答

用恒等式|x|+|y|+|z|>=|x+y+z|就不用讨论

g（x）=f(x+a)+2f(x)
=|x+a-a|+2|x-a|
=|x|+2|x-a|
=|x|+0.5|x-a|+1.5|a-x| 【根据|x|+|y|+|z|>=|x+y+z|】
>=|x+0.5x-0.5a+1.5a-1.5x|=|a|=4 【此步骤最后不应是>=4】
所以a=±4 （若a>0舍负值）

追问

唔...好吧
谢谢！

Answer 2

f(x)=|x-a|
(1) a=1 f²(x)=(x-1)²≤2→(x-3)(x+1)≤0 →-1≤x≤3
(2)g(x)=f(x+a)+2f(x)=|x+a-a|+2|x-a|=|x|+2|x-a|

g(x)=-x+2a-2x=2a-3x x≤0 ①
g(x)=x+2a-2x=2a-x 0≤x≤a ②
g(x)=3x-2a x≥a ③
①单调递减，最小值=2a
②单调递减，最小值=2a-a=a
③单调递增，最小值=3a-2a=a
∴最小值=a=4