Question

矩阵A的平方等于LA,r(A)=1,则L具有什么性质

忘记A是否是对称矩阵了,另外是否可推导到A的n次方

Answer 1

秩为1的矩阵有个特点，就是一定可以写成一个列向量乘以一个行向量
设A=αβ’（α，β都是列向量）
则A^2=αβ’αβ’=α(β’α)β’
注意到，(β’α)正好是A的迹tr(A) （把A写出来很容易看出来）
所以秩为1的矩阵有性质：A^2=tr(A)A
知道了这个接下来就好办了
A^2=LA 其实就是
tr(A)A=LA
L就是这个性质呗，即：L对A左作用后得到常数tr(A)再乘以A这个矩阵
所以L相对于A是一个乘法算子。

A的n次方当然也行啦。。。利用A=αβ’容易知道，A^n=[tr(A)]^(n-1)A
其实和A就相差一个常数倍，所以是一回事！

Answer 2

A的平方是LA，说明A是方阵
而r(A)=1
说明它可以化成只有一行是非全0的
A就不是对称的了

例如A=[{a,b},{0,0}],A^2=[{a^2,ab},{0,0}]
有L=a
如果A=[{a,b,c},{0,0,0},{0,0,0}]
A^2=[{a^2,ab,ac},{0,0,0},{0,0,0}]
这时,有L=a
其实用数学归纳法应该可以弄出L就是a11那个元素
至于A的n次方应该没用问题
应为AA=LA
AAA=L^2A
A^n=L^(n-1)A

Answer 3

L是数字还是矩阵？
是数字的话，L就直接是A的迹tr(A)（对角线元素的和）
是矩阵的话，L满足LA=tr(A)A
一楼已经写的很详细了，其实直接认为L是矩阵就可以了，因为这种情况包括了数字的情形