Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b为常数，a不等于0）满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根

(1)求f(x)解析式
(2)函数f(x)在（x∈[t,t+1],t∈R）的最大值为u(t),求u(t)解析式
详细过程

Answer 1

(1)由f(-x+5)=f(x-3),
f(x)的图象关于x=(5-3)/2对称,
-b/2a=1. ①
又方程f(x)=x有等根,
即ax^2+bx=x,
ax^2+(b-1)x=0有等根0,
x=(1-b)/a=0. ②
由①②得
a=-1/2,b=1.
故f(x)=-1/2·x^2+x
(2)
函数f(x)=-1/2(x-1)^2+1/2
在（x∈[t,t+1],t∈R）的最大值,
是定抛物线y=-1/2·x^2+x在(动)区间上的最大值,
是关于t的(分段)函数.
分三种情况讨论:对称轴x=1在区间左,中,右.
当1≤t时,
f(x)在（x∈[t,t+1]上是减函数,
f(x)最大值=f(t)=-1/2·t^2+t.

当t<1≤t+1,即0≤t<1时
f(x)最大值=1/2.

当t+1<1,即t<0时,
f(x)在（x∈[t,t+1]上是增函数,
f(x)最大值=f(t+1)=-1/2·t^2+1/2.
综上所述
(写成分段函数)

Answer 2

f(-x+5)=f(x-3)说明对称轴是x=1
也可以代特殊值f(0)=f(2）=>4a+2b=0
f(x)=x有等根=>ax^2+(b-1)x=0两根都为0
所以b=1，a=-1/2
第（2）问讨论对称轴是否穿过区间[m,n
]，如果不穿过，则函数是单调的
如果穿过，最大值f(-b/2a)=n
自己先算下吧

Answer 3

解：
1)
由f(-x+5)=f(x-3)可知对称轴为 x=1
所以b/(-2a)=1 b=-2a;
因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根
显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2
所以f(x)=-1/2x^2+x;
2)
f(x)=-1/2(x^2-2x)=-1/2(x-1)^2+1/2 (化简，求最大值）
x＝1为对称轴，
讨论t在f(x)的对称轴的左右方，分别得u(t)出解析式

Answer 4

1.满足条件f(-x+5)=f(x-3),取特殊值代进，取x=1

f(x)=x有等根 用判别式=0

2.讨论t在f(x)的对称轴的左右方，分别得u(t)出解析式