Question

求数列通项

Answer 1

这个问题还在提？没有简单的通解表达式。
简单表达式，是对所有项一致的一个每一项都确定的表达式，其中的项数、各项系数，都一致。一般通项公式可以用项次n和数列首项a1或者至多前几项（如菲波那切数列）表示出来。
如果在递推公式中，设n=1，则
a2=（a1²+3）/（a1+1）

a(n+1)=(an²+3）/（an+1）
=（（a（n-1）²+3）²/（a（n-1）+1）²+3）/（（a（n-1）²+3）/（a（n-1）+1）+1）
=（（a（n-1）²+3）²+3（a（n-1）+1）²）/（（a（n-1）²+3）（a（n-1）+1）+（a（n-1）+1）²）
设n-1=1，得到：
a3=（（a1²+3）²+3（a1+1）²）/（（a1²+3）（a1+1）+（a1+1）²）
=（a1^4+6a1²+9+3a1²+6a1+3）/（a1³+a1²+3a1+3+a1²+2a1+1）
=（a1^4+9a1²+6a1+12）/（a1³+4a1²+3a1+4）
要把a2的表达式与a3的表达式统一起来，绝无可能。
我们将a（n-1）用[a²（n-2）+3]/[a(n-2)+1],代入，就得到分子是a（n-2）的8次方，分母是a（n-2）的7次方的，项数更多的表达式，而且无法化简，更无法与a2的表达式统一成同一公式。要表达成有限、确定，由a1，n运算形成的式子，只能每一项单独写一个式子，当然不是通项公式。
因此，这个数列没有简单的通项公式。
这类数列，一般称为“超越数列”。
这种数列的通项公式，如果要求统一，只能用包含a1到a（n-1）的所有项（因而，在形式上项数不确定）的形式一致的形式表示，可以是不定项的和、积、连分数形式，等等。类似于用泰勒级数、麦克劳林级数、连乘形式，
a(n+1)=[an²+an-an-1+4]/(an+1)
=an-1+4/(an+1)
a(n+1)+1=an+1+4/(an+1)-1
设an+1=bn
b（n+1）=bn+4/bn-1
b（n+1）-bn=4/bn-1
b(n+1)-b1=【b(n+1)-bn】+【bn-b(n-1)】+【b（n-1）-b（n-2）】+...+（b2-b1）
=[4/bn-1]+[4/b(n-1)-1]+]4/b(n-2)-1]+...+(4/b1-1)
=4(1/b1+1/b2+..+1/bn)-n
b(n+1)=b1+4(1/b1+1/b2+..+1/bn)-n
=b1-n+Σ（k=1，n）1/bk
bn=b1-（n-1）+Σ（k=1，n-1）1/bk
an+1=2-（n-1）+Σ（k=1，n-1）1/（ak+1）
an=2-n+Σ（k=1，n-1）1/（ak+1）
这是一种形式。这样的式子，这有形式上的意义。
用连乘积表示：
a(n+1)-3=(a²+3-3an-3）/（an+1）=（an²-3an）/（an+1）
[a(n+1)-3]/(an-3)=an/(an+1)
[a(n+1)-3]/（a1-3）=[a(n+1)-3]/(an-3).(an-3)/[a(n-1)-3].[a(n-1)-3]/[a(n-2)-3]....a2/a1
=an.a(n-1).a(n-2)...a1/(an+1)[a(n-1)+1][a(n-2)+1]...(a1+1)
=Π（k=1，n）ak/（ak+1）=Π（k=1，n）1/（1+1/ak）
a(n+1)-3=（a1-3）Π（k=1，n）ak/（ak+1）
a(n+1)=3-（3-a1)Π（k=1，n）ak/（ak+1）
an=3-（3-a1)Π（k=1，n-1）ak/（ak+1）
连乘的每一项都小于1，无穷项相乘，后项为0，因此，数列趋近于3
用计算器逐项计算，n≥69之后，已经与3没有区别
如果an=3，则a（n+1）=（3²+3）/（3+1）=3
an=3是一个陷阱，达到这个值之后，数列就成了常数列an=3
当然，只能无限接近，不能达到。
这些通项公式（项数不确定），可以用来研究数列的性质，但是对于计算没有多少用。计算还是递推公式管用，简单，确定。
连分数形式：
a（n+1）=（an²+3）/（an+1）=an-1+4/（an+1）
=-1+an+4/（1+a（n-1）-1+4/（a（n-1）+1）
=-1+an+4/（a（n-1）+4/（a（n-1）+1）
=-1+an+4/（a（n-1）+4/（a（n-1）+4/a(n-2）+...4/(a1+4/(a1+1))..)