Question

求二阶微分方程特解

Answer 1

令y'=p
则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx= pdp/dy, 带入！
pydp/dy=2（p^2-p）
则1/(p-1)dp=2/ydy
各自积分可得
ln(p-1)=2lny+lnc1
y'=2
则p=1+y^2
分离变量！
dy/（1+y^2）=dx
各自积分
arctany=x+c2
y(0)=1
则x=arctany-π/4

追问

不是ln(p-1)＝2lny+lnc？

追答

任意常量，怎么写都行。带初始值进入就确定了

Answer 2

令p=y'，则y''=pdp/dy
ypdp/dy=2(p²－p)
故p=0(舍去)或dp/(p－1)=2dy/y
ln(p－1)=2lny+lnC
p－1=Cy²
代入初始条件2－1=C，故C=1
p=y'=y²+1
dy/(y²+1)=dx
arctany=x+C
y=tan(x+C)
由y(0)=1，故特解y=tan(x+kπ+π/4)