Question

函数的单调性和奇偶性（较难！）

Answer 1

1.
a=1时，（2，f（2））=（2，-18）

f'(x）=-3x^2-4x-1

f'(2)=-21

设切线方程y=kx+b
则斜率k=-21，代入（2，-18）得b=24
所以y=-21x+24
2.
f'(x）=-（x-a)^2-2x(x-a)=-3x^2+4ax-a^2=-(3x-a)(x-a)
令f'(x)=0,得：x=a,x=a/3
讨论：
当a>0时，a/3<x<a,f'(x)>0,函数递增
x>aorx<a/3,f'(x)<0,函数递减
所以x=a,f(x)取极大值，f(a)=0
x=a/3,f(x)取极小值，f(a/3)=-4a^3/27
当a<0时，a<x<a/3,f'(x)>0,函数递增
x>a/3orx<a,f'(x)<0,函数递减
所以x=a,f(x)取极小值，f(a)=0
x=a/3,f(x)取极大值，f(a/3)=-4a^3/27
3.由a>3知：a/3>1,因为x<a/3,f'(x)<0,函数递减
所以x<1<a/3时，f(x)递减
由题得：-2<（k-cosx）<1,-1<（k^2-cosx^2)<1
要想让f（k-cosx）≥f（k^2-cosx^2）
即k^2-cosx^2）≥k-cosx对于任意x恒成立
cos^2（x）-cosx+k-k^2≤0
可设cosx=t，则t∈[-1,1]
即t^2-t+k-k^2≤0对于tt∈[-1,1]恒成立
知f(t)=t^2-t+k-k^2的对称轴是t=1/2
故得:
f(1)=k-k^2≤0
k≥1,k≤0
f(-1)=2-k^2+k≤0
k≥2,k≤1
得：k≤0
所以在[-1,0]之间必定存在k值使得不等式成立