Question

这两道题怎么证明？

打勾那两道

Answer 1

4.2. 设f(x)=x- cosx/2, 显然f(x)是R上的连续可导函数，且f'(x)=1+sinx/2 >0,因此其是R上的严格增函数
又，f(0)=-1/2<0 , 1>f(1)=1-cos1/2 >0,，根据连续函数零点定理，可知在区间 (0, 1) 内至少存在一个实数xa, 使得f(xa)=0成立，又由于f(x)是R上的严格增函数，因此f(x)在R上仅有一个零点，因此 方程 x=cosx/2, 仅有一个实数根。现在确定的区间是（0，1），至于迭代的收敛性，是属于数值分析或者计算方法的内容，对于本题还是容易证明的，这里从略
4.3. 此题相当于4.2的后半部分