Question

用数学归纳法证明一个命题，并写出过程

Answer 1

用数学归纳法（结合反证法）.
当n=0时,m=d0为一个正整数的平方,而d0只能是0或1或2中的一个,故必有d0=1.
假设当n=k≥1时,如果m=d0+3d1+3^2d2+3^3d3+…+3^kdk为一个正整数的平方,必至少有一个di=1；则当n=k+1时,m=d0+3d1+3^2d2+3^3d3+…+3^kdk+3^(k+1)d(k+1)为一个正整数的平方,要证至少有一个di=1.
用反证法.如果没有一个di=1,则所有的di只能是0或2.
若d0=0,则m=3d1+3^2d2+3^3d3+…+3^kdk+3^(k+1)d(k+1)=3×[d1+3d2+3^2d3+……+3^kd(k+1)]为一个正整数的平方,于是[d1+3d2+3^2d3+……+3^kd(k+1)]必为3的正整数倍,因此d1必为3的整数倍,而d1只能是0或1或2中的一个,则d1=0,于是[3d2+3^2d3+……+3^kd(k+1)]必为3的正整数倍,重复上述类似过程,便可得到一系列的d2=0,d3=0,……,dk=0.得到m=d0+3d1+3^2d2+3^3d3+…+3^kdk+3^(k+1)d(k+1)=3^(k+1)d(k+1)为一个正整数的平方,而注意到k≥1,要使该数为一个正整数的平方,必须有d(k+1)=1（等于0不合题意；等于2,前面全是因子3,最后一个因子2,必然不是完全平方数）,与假设没有一个di=1矛盾.
若d0=2,则m=2+3d1+3^2d2+3^3d3+…+3^kdk+3^(k+1)d(k+1)=3×[d1+3d2+3^2d3+……+3^kd(k+1)]为一个正整数的平方,则正的完全平方数m被3除的余数为2,这是不可能的.因为正的完全平方数只能有三类：(3p)^2,(3p-1)^2,(3p-2)^2 ,p为正的自然数.而它们被3除的余数只能是0和1,不可能为2.
于是,当n=k+1时,m=d0+3d1+3^2d2+3^3d3+…+3^kdk+3^(k+1)d(k+1)为一个正整数的平方,则至少有一个di=1.
综上知,对所有的n∈N,若m=d0+3d1+3^2d2+3^3d3+…+3^ndn为一个正整数的平方,并且di(i=0,1,2,…,n)只能为0或1或2中的一个,则至少有一个di=1.
证毕.
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