Question

圆与圆关于直线对称的圆心怎么求

Answer 1

两个圆的圆心连线与直线的交点即为对称点的位置，因此求解圆与圆关于直线对称的圆心需要以下步骤：

分别求出两个圆的圆心坐标和半径大小；

求出两个圆心的连线斜率；

求出圆心连线与直线的垂线斜率，即直线的负倒数；

求解圆心连线与直线的交点坐标；

求解对称圆心的坐标，即将交点沿着圆心连线方向平移半径大小的距离。
具体的计算公式可以参考以下步骤：

假设两个圆的圆心坐标分别为 (x1,y1) 和 (x2,y2)，半径大小分别为 r1 和 r2；

圆心连线的斜率为 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)；

直线的垂线斜率为 k1 = -1 / k；

直线方程为 y - y1 = k1 * (x - x1)，代入圆的方程可得：
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = r1^2
将 y 替换为 y1 + k1 * (x - x1)，得到一个关于 x 的二次方程：
(1 + k1^2) * x^2 + 2 * (k1 * (y1 - k1 * x1) - x1) * x + x1^2 + (y1 - k1 * x1)^2 - r1^2 = 0
解出该方程的两个根 x3 和 x4，即为圆心连线和直线的交点的 x 坐标；

将交点沿着圆心连线方向平移 r1 的距离，得到对称圆心的坐标：
对称圆心的 x 坐标为 x5 = x3 + r1 / sqrt(1 + k^2)
对称圆心的 y 坐标为 y5 = y3 + k * (x5 - x3)
注意：如果两个圆心连线与直线垂直，则无法求解对称圆心的位置。

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