Question

求|x-2|-|3x+6|的最大值

Answer 1

首先，|x-2|的最大值为x-2，当x>=2时取到。同理，|3x+6|的最大值为3x+6，当x<=-2时取到。因此，当x>=2时，原式可化简为x-2-3x-6=-2x-8；当x<=-2时，原式可化简为-(x-2)-3x-6=-4x-4。因此要求原式的最大值，只需要判断-2x-8和-4x-4哪个更大。这两个式子都是关于x的一次函数，因此它们的最大值只有一个，可以通过求导或画出函数图像进行判断。经计算得知，当x=-5/2时| x-2|-|3x+6|取到最大值18，因此最大值为18。

Answer 2

为了求解|x-2|-|3x+6|的最大值，我们需要用到一些数学方法。首先，可以看到式子中存在绝对值符号，因此需要拆分成不同的情况进行分析。当x≥2时，|x-2|=x-2，|3x+6|=3x+6，因此|x-2|-|3x+6|=x-2-3x-6=-2x-8。当x<2且x≥-2时，|x-2|=2-x，|3x+6|=-(3x+6)，因此|x-2|-|3x+6|=2-x+3x+6=x+8。当x<-2时，|x-2|=-(x-2)=2-x，|3x+6|=-(3x+6)，因此|x-2|-|3x+6|=2-x-3x-6=-4x-4。综上所述，我们可以得出函数的表达式：

f(x) = { -2x-8, x≥2
{ x+8, -2≤x<2
{ -4x-4, x<-2

我们可以继续将这个函数化简为分段函数，得到最终的函数表达式：

f(x) = {-2x-8, x≥2
{ 4x+12, x<-2
{ 0, -2≤x<2

因此，当x≥2时，函数取最小值-12，当x<-2时，函数取最小值4，而当-2≤x<2时，函数取最大值0。因此，|x-2|-|3x+6|的最大值为0，当且仅当-2≤x<2时成立。

Answer 3

考虑解析绝对值，当$x\ge2$时，$|x-2|=x-2$；当$x<2$时，$|x-2|=2-x$。当$3x+6\ge0$时，$|3x+6|=3x+6$，当$3x+6<0$时，$|3x+6|=-(3x+6)=6-3x$。故当$x\ge-2$时，$|x-2|-(3x+6)=x-2-3x-6=-2x-8$；当$x<2$时，$|x-2|-(3x+6)=2-x-3x-6=-4x-4$。解方程$-2x-8=0$和$-4x-4=0$，得到$x=-4$和$x=-1$，此时为最大值，为$\boxed{4} $。