Question

设曲线l:|x|+|y|=1,则曲线积分（x方+y方）ds 等于多少

Answer 1

问：设曲线l:|x|+|y|=1,则曲线积分（x方+y方）ds 等于多少

答：首先，我们需要先确定曲线l的参数方程。考虑到|x|和|y|的非负性，我们可以将|x|+|y|=1拆分成四条曲线的联合：当x≥0时，|x|+|y| = x+y = 1，即y=1-x；当x<0时，|x|+|y| = -x+y = 1，即y=1+x。因此，曲线l的参数方程可以为：x = t， y = 1-t， -1≤t≤1 ；x = -t， y = 1+t， -1≤t≤1。曲线l的方程可视为两条线段连接而成，分别为上半部分和下半部分。现在，我们来计算曲线积分（x²+y²）ds。由于曲线参数方程的定义域为[-1, 1]，我们可以使用参数方程来进行曲线积分的计算。具体来说，可以用如下公式：曲线积分（x²+y²）ds = ∫[a,b] ((x(t))² + (y(t))²) √(x'(t)² + y'(t)²) dt，其中，a和b是参数t的取值范围，并且[t=a, t=b]是曲线l的参数方程范围。对于曲线l的上半部分（x=t, y=1-t），我们有：

答：x'(t) = 1，y'(t) = -1，√(x'(t)² + y'(t)²) = √(1² + (-1)²) = √2。因此，曲线积分（x²+y²）ds = ∫[-1,1] ((t)² + (1-t)²) √2 dt。计算该积分，我们有：∫[-1,1] ((t)² + (1-t)²) √2 dt= ∫[-1,1] (t² + 1 - 2t + t²) √2 dt= ∫[-1,1] (2t² - 2t + 1) √2 dt.对于曲线l的下半部分（x=-t, y=1+t），同样有：x'(t) = -1，y'(t) = 1，√(x'(t)² + y'(t)²) = √((-1)² + 1²) = √2。因此，曲线积分（x²+y²）ds = ∫[-1,1] ((-t)² + (1+t)²) √2 dt。计算该积分，我们有：∫[-1,1] ((-t)² + (1+t)²) √2 dt= ∫[-1,1] (t² + 1 + 2t + t²) √2 dt= ∫[-1,1] (2t² + 2t + 1) √2 dt.综上所述，曲线积分

答：（x²+y²）ds = ∫[-1,1] (2t² - 2t + 1) √2 dt + ∫[-1,1] (2t² + 2t + 1) √2 dt.将上面两个积分结果相加，我们可以得到最终结果。

问：不太懂，可以在纸上演算一下吗

答：这里发不了图片呢不好意思

问：为什么分成了两部分，不是有四个线段吗

问：?

答：曲线l: |x|+|y|=1的确包含了四个线段。|x|+|y|=1可以拆分成四个方程：当x≥0，y≥0时，|x|+|y|=x+y=1，即y=1-x；当x≥0，y<0时，|x|+|y|=x+(-y)=x-y=1，即y=x-1；当x<0，y≥0时，|x|+|y|=(-x)+y=-x+y=1，即y=1+x；当x<0，y<0时，|x|+|y|=(-x)+(-y)=-x-y=1，即y=-1-x。因此，曲线l的参数方程可以为：x=t， y=1-t， -1≤t≤1 ；x=t， y=t-1， -1≤t≤1 ；x=-t， y=1+t， -1≤t≤1 ；x=-t， y=-1-t， -1≤t≤1。对于曲线l上的每一段线段，我们可以计算曲线积分（x²+y²）ds，并将结果进行叠加求和来获得整个曲线l的曲线积分。

问：可以回答一下吗

答：上面已经回复了