Question

高中奥数题,有点难度

求证:任意9个自然数中必有5个,它们的和是5的倍数
各位高手帮帮忙.
大概写一下步骤哦!
哈,原题是求证1999个中必存在1000个,使得和为1000倍数.
1000=2^3*5^3,我化简成了如题.
如果这个能证出,原题就OK了.

Answer 1

我的方法有些麻烦，应该还有更好的方法，暂且为lz写上
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设这9个数为a1,a2,...,a9。现在反设这9个数中任何5个之和都不是5的倍数
那么，他们被5除的余数不可能遍历0,1,2,3,4(否则加起来就能被5整除了)。换句话说，这9个数被5除的余数最多只能有4种取值。根据抽屉原理，9个数中必然存在三个数被5除余数相同。不妨设是a7,a8,a9。他们被5除余r
现考察新数组bi=ai-r(i=1,2,...,9)
则显然b7,b8,b9都被5整除，且对b1,b2,...,b9这9个数而言，仍满足：任何5个之和都不是5的倍数。(否则对应的ai之和就是5的倍数了)
现在b1,b2,...,b6中最多只有1个5的倍数，所以不妨设b1,b2,...,b5都不被5整除。根据抽屉原理，其中必有2个数被5除余数相同。不妨设是b1,b2。被5除余数为k
若k=1,则b3,b4,b5被5除都不能余3也不能余4，所以只能余1或2了。易见全1，1个1 2个2，2个1 1个2，全2这4种情况中的任何一种的都导致矛盾！
同理可证若k=2,3,4，也将导致矛盾！
所以，反设不成立，命题得证
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to 随云公子：我不生气，但是觉得可笑，你连我的证明方法都没看明白就妄加品论。我把这9个数每个数都减去了r，又不只是那3个数减去r。所以a1+a2+a3+a4+a5被5整除与否与b1+b2+b3+b4+b5被5整除与否是等价的。懂么？
lz说得没错，要证明1000的情况就只要证明2,5的情况就行了。推广到任意n也是没问题的，单樽在他1983年的一篇论文《初等数论中的一个猜测》中已经证明了这件事情，lz可以去搜搜这篇论文来看。

Answer 2

我可以扩大证明的范围，证明任意2n-1个自然数中必有n个和能被n整除，是正确的。

楼主，真有书上出这个题吗，我知道这个结论是绝对正确的，但是证明嘛，有肯定有，但一定是麻烦的，不符合奥数的出题方式哦，是不是楼主自己想要证明阿。

楼主可以看我找到的资料，就知道为什么要这样问了，呵呵。

如果真是这样，楼主看我不辞辛苦，一定不能让我失望啊，哈哈，当然哪位达人真简单明了的证出来了，我五体投地的佩服，呵呵。

PS：楼上的证明似乎到了“且对b1,b2,...,b9这9个数而言，仍满足：任何5个之和都不是5的倍数”这里就有些不通了，因为有3个数已经换了，呵呵，希望不要生气。

Answer 3

设5个数被5除余0.1.2.3.4
即5x+0,5x+1,5x+2,5x+3,5x+4
而任取5个数如+0，+1，+2，+3，+4=10是5的倍数
即使最分配不合理如有4个+1，4个+2，及一个+3
+1+2+2+2+3=10也可以

我是小学生，不知道对不对

PS:随云公子，什么是取1、2、3、4、6啊，能取9个啊