一道初三奥数题 高分!!!

在△ABC中,A1,B1,C1分别在BC,CA,AB边上,且AA1,BB1,CC1共点于O,且有AO:OA1+BO:OB1+CO:OC1=2008求AO*BO*CO:OA... 在△ABC中,A1,B1,C1分别在BC,CA,AB边上,且AA1,BB1,CC1共点于O,且有AO:OA1+BO:OB1+CO:OC1=2008 求AO*BO*CO:OA1*BO1*CO1的值。
错了,求OA1*OB1*OC1的值。
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百度网友d9bcfcf
2008-10-20 · TA获得超过2692个赞
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解:通过平行射影,可以实现从任意△→等腰△→等边△的变换,而共线线段之比在平行射影吵让下是保持不变的,所以不妨设△ABC是正三角形。
通过位似放缩,可以将任意大小的等边△变成边长为1的正三角形。而线段之比在位似变换下是不变的,所以不妨设正△ABC的边长为1。

过点P作△ABC各边的平行线,与三边各围成一个小正三角形,记它们的边长分别为u,v,w(对应于边BC,CA,AB),则u+v+w=1,并且不难看出
AO/OA₁=(v+w)/u=1/u-1,BO/OB₁=1/v-1,CO/OC1=1/w-1
所以 (AO·BO·CO)/(OA₁·OB₁·OC₁)=(1/u-1)(1/v-1)(1/w-1)
=1/uvw-(1/uv+1/vw+1/wu)+(1/u+1/v+1/w)-1
=1/uvw-(u+v+w)/uvw+(1/u+1/v+1/亮碰毁w)-1
=1/uvw-1/uvw+(1/u+1/v+1/w)-1
=(1/u+1/v+1/w)-1

由已知条件AO/OA₁+ BO/敬备OB₁+ CO/OC₁=2008得
1/u+1/v+1/w=2011
所以 目标式=2011-1=2010

(谁在楼下复制、抄袭我的答案谁是爬爬)
jasondjjdjj
2008-10-21
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过O点作底边的平行线,这里作BC的平行线,交AB、AC于E、F。
设AO=a,BO=b,CO=c,AO1=a1,BO1=b1,CO1=c1,AB1=x,FB1=y,FC=z。
则由平行梁迅有a/a1=(x+y)/z, b/b1=z/y, (计算c/c1有点复杂,思路如下)
c1/(c1+c)=EO/BC=(EF-OF)/BC
而EF/BC=(x+y)/(x+y+z), OF/BC=y/(y+z)
所以族带c1/(c1+c)= (x+y)/(x+y+z)-y/(y+z)
化简得c/c1=(xy+(y+z)^2)/xz
所以得a/a1=(x+y)/z,
b/b1=z/y,
c/c1=(xy+(y+z)^2)/xz
三式结合得,(中间过程就不算了,思路是由2式得z表达式代入1、3两式,再消去x,橡穗此最后结合可消除y)
ab/a1b1=(c1(1+b/b1)^2)/(bc/b1-c1)+1
化简得
abc-ab1c1=a1b1c+2a1b1c1+a1bc1
abc/a1b1c1=2+a/a1+b/b1+c/c1=2+2008=2010
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benkyoshi
2008-10-21 · TA获得超过2954个赞
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设AO:OA1=x,BO:OB1=y,CO:OC1=z。那么就是已知x+y+z=2008.求xyz
注意到亏模OA1/AA1=O到BC的距离/逗颂A到BC的距离=△BOC的面积/△ABC的面积
而AA1=AO+OA1=OA1(x+1)。所以上式表明
△BOC的面积/△ABC的面积=1/(x+1)
同理可得△AOC的面积/△ABC的面积=1/(y+1)
△BOA的面积/△ABC的面积=1/(z+1)
三式相加得1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)=1
而1/(x+1)+1/销指缓(y+1)=(2+x+y)/(1+x+y+xy)。所以1/(z+1)=(xy-1)/(1+x+y+xy)
即xyz+xy-z-1=1+x+y+xy。xyz=2+x+y+z
所以由x+y+z=2008知道xyz=2010
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御剑飞仙2008
2008-10-21 · TA获得超过155个赞
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最简单的方法莫过于面积法.给你一个通式吧.
AO:OA1+BO:OB1+CO:OC1+2=AO*BO*CO:OA1*BO1*CO1,对于任意三角形ABC内的任意点O都成立嫌饥肆。
△ABC分成了△AOB、△BOC、△COA三块,面积分别为S1,S2,S3。
则AO/OA1=S△AOB/S△BOA1=S△AOC/S△COA1 (等高时底之比等于面积之比)
=(S△AOB+S△AOC)/S△BOC (等比定理)
=(S1+S2)/S3
所以AO:OA1+BO:OB1+CO:OC1=(S1+S2)/S3+(S2+S3)/S1+(S1+S3)/S2
而AO*BO*CO:OA1*BO1*CO1=(S1+S2)(S1+S3)(S2+S3)/S1*S2*S3
=2+(S1+S2)/S3+(S2+S3)/S1+(S1+S3)/S2

所以AO:OA1+BO:OB1+CO:OC1+2=AO*BO*CO:OA1*BO1*CO1。芹轿题中说是2008就把2008代入即可,答案是2010。

楼主一定要认真看看呀,这是最简单的方法啊,我讲的都是通法。凡是碰到AO:OA1+BO:OB1+CO:OC1或者AO*BO*CO:OA1*BO1*CO1的90%都是用面积法。不然就是梅涅劳斯定理和肢搭塞瓦定理。
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<1>解:通过平行射影,可以实现从任意△→等腰△→等边△的变换,而共线线段之比在平行射影下是保持不变的,所以不妨设△ABC是正三角形。
通过位似放缩,可以将任意大小的等边△变成边长为1的正三角形。而线段之比在位似变换下是不变的,所以不妨设正△ABC的边长为1。

过点P作△ABC各边的平行线,与三边各围成一个小正三角形,记它们的边长分别为u,v,w(对应于边BC,CA,AB),则u+v+w=1,并且不难看出
AO/OA₁=(v+w)/u=1/u-1,BO/OB₁=1/v-1,州咐告CO/OC1=1/w-1
所以 (AO·BO·CO)/(OA₁·OB₁·OC₁)=(1/u-1)(1/v-1)(1/w-1)
=1/uvw-(1/uv+1/vw+1/wu)+(1/u+1/v+1/w)-1
=1/uvw-(u+v+w)/uvw+(1/u+1/v+1/w)-1
=1/uvw-1/uvw+(1/u+1/v+1/w)-1
=(1/u+1/v+1/w)-1

由已知条件AO/OA₁+ BO/OB₁+ CO/OC₁=2008得
1/u+1/v+1/w=2011
所以 目标式=2011-1=2010
<2>设AO:OA1=x,BO:OB1=y,CO:OC1=z。那么就是已知x+y+z=2008.求xyz
注意到OA1/AA1=O到BC的距离/A到BC的距离=△BOC的面积/△ABC的面积
而AA1=AO+OA1=OA1(x+1)。所以上式表明
△BOC的面积/△ABC的面积=1/(x+1)
同理可得△AOC的面积/△ABC的面积=1/(y+1)
△BOA的面积/△ABC的面积=1/(z+1)
三式相加得册明1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)=1
而1/(x+1)+1/(y+1)=(2+x+y)/(1+x+y+xy)。所以1/(z+1)=(xy-1)/(1+x+y+xy)
即xyz+xy-z-1=1+x+y+xy。xyz=2+x+y+z
所以由x+y+z=2008知道xyz=2010
<3>过O点作底边的平行线,这里作BC的平行线,交AB、AC于E、F。
设AO=a,BO=b,CO=c,AO1=a1,BO1=b1,CO1=c1,AB1=x,FB1=y,FC=z。
则由平行有a/a1=(x+y)/z, b/b1=z/y, (计算c/c1有点复杂,思路如下)
c1/(c1+c)=EO/BC=(EF-OF)/BC
而EF/BC=(x+y)/(x+y+z), OF/BC=y/(y+z)
所以c1/(c1+c)= (x+y)/(x+y+z)-y/(y+z)
化简得c/c1=(xy+(y+z)^2)/xz
所以得a/a1=(x+y)/z,
b/b1=z/y,
c/c1=(xy+(y+z)^2)/xz
三式结合得,(中间过程就不算了,思路是由2式得z表达式代入1、3两式,再消去x,最后结合可消除y)
ab/a1b1=(c1(1+b/b1)^2)/(bc/b1-c1)+1
化简得
abc-ab1c1=a1b1c+2a1b1c1+a1bc1
abc/a1b1c1=2+a/a1+b/b1+c/c1=2+2008=2010
<4>最简单的方法莫过于面积法.给你一个通式吧.
AO:OA1+BO:OB1+CO:OC1+2=AO*BO*CO:OA1*BO1*CO1,对于任意三角形ABC内的任意点O都成立。
△ABC分成了△AOB、△BOC、△COA三块,面积分别为S1,S2,S3。
则AO/OA1=S△AOB/S△BOA1=S△AOC/S△COA1 (等高时底之比等于面积之比)
=(S△AOB+S△AOC)/S△BOC (等比定理)
=(S1+S2)/S3
所以AO:OA1+BO:OB1+CO:OC1=(S1+S2)/S3+(S2+S3)/S1+(S1+S3)/S2
而AO*BO*CO:OA1*BO1*CO1=(S1+S2)(S1+S3)(S2+S3)/S1*S2*S3
=2+(S1+S2)/S3+(S2+S3)/S1+(S1+S3)/S2

所以AO:OA1+BO:OB1+CO:OC1+2=AO*BO*CO:OA1*BO1*CO1。题中说是2008就把2008代入即可,答案是2010。

楼主一定要认真看看呀,这是最简单的方法啊,我讲的都是通法。凡是碰到AO:OA1+BO:OB1+CO:OC1或者AO*BO*CO:OA1*BO1*CO1的90%都是用面积法。不简念然就是梅涅劳斯定理和塞瓦定理。
我给了你4种解决方式,就是想让你快点明白这道题,这样你应该明白我的意思了吧!好了,我在这里祝你学习进步
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zhongyuanzzz
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呵呵 看来我来晚了 这么多的数学强人啊 佩服!
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