Question

已知奇函数f(x)的定义域为实数集，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，当0≤θ≤π/2时，是否存在

已知奇函数f(x)的定义域为实数集，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，当0≤θ≤π/2时，是否存在这样的实数m，使f(cos 2θ-3)+f(4m-2m cosθ)＞f(0)对所有的θ∈[0, π/2]均成立?若存在，则求出所有适合条件的实数rn；若不存在，试说明理由．
问题补充：答案是(4-2根号2,正无穷)

Answer 1

奇函数f(x)的定义域为实数集，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，
所以f(0)=0,f(x)在(-∞，0)上是增函数
f(cos 2θ-3)+f(4m-2m cosθ)＞f(0)等价于f(cos 2θ-3)＞-f(4m-2m cosθ)
等价于f(cos 2θ-3)＞f(2m cosθ-4m)
等价于cos 2θ-3＞2m cosθ-4m
0≤θ≤π/2 所以0≤cosθ≤1 -4≤2cosθ-4≤-2
原不等式等价于m＞(cos 2θ-3)/(2cosθ-4)在0≤θ≤π/2时恒成立
下面自己算吧

Answer 2

奇函数f(x)的定义域为实数集
f(0)=0
f(cos 2θ-3)+f(4m-2m cosθ)＞f(0)=0

f(cos 2θ-3)>-f(4m-2m cosθ)=f(2m cosθ-4m)
cos 2θ-3>2m cosθ-4m
cosθ=t,θ∈[0, π/2]
0≤t≤1
t²-mt-2+2m=（t-m/2)²-2+2m-m²/4＞0在0≤t≤1恒成立
⑴△＜0
4－2√2＜m＜4＋2√2
⑵△≥0
m/2＜0,f(0)＞0
无解
⑶△≥0
m/2＞1,f(2)＞0
解得m＞4＋2√2

由⑴⑵⑶得到m＞4-2√2

Answer 3

已知奇函数f(x)的定义域为实数集，且f(x)在[0，+∞)上是增函数，当0≤θ≤π/2时，是否存在这样的实数m，使f(cos 2θ-3)+f(4m-2m cosθ)＞f(0)对所有的θ∈[0, π/2]均成立?若存在，则求出所有适合条件的实数rn；若不存在，试说明理由．
问题补充：答案是(4-2根号2,正无穷)

考虑三种情况
1）a大于1/2
从大到小所以交集为空集
2）a小于1/2并且大于0
从大到小：-a，a，1-a，1+a
所以交集为（a，1-a）
3）a小于0
从大到小：-a，1-a，a，1+a
所以交集为空集