Question

三角形ABC中,BD,CE分别是角ABC,角ACB的平分线,EC=BD求证AB=AC

Answer 1

这就是著名的斯坦纳--莱默斯定理。1840年,莱默斯[C.L.Lehmus]在给斯图姆[C.Sturm]的一封信中提出的，他请求给出一个纯几何的证明，斯图姆向许多数学家提到此问题。首先回答的是瑞士大几何学家斯坦纳[J.Steiner]。后来该定理就以斯坦纳--莱默斯定理定理而闻名于世。在1965年的一篇报道中提到该定理约有60多种证法。下面给出两种证法.

己知 在△ABC中，BE,CF是∠B，∠C的平分线，BE=CF。求证:AB=AC.
证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCF=∠FCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBF。
在△BCF和△CBE中，因为BC=BC, BE=CF，∠BCF>∠CBE.
所以 BF>CE。 (1)
作平行四边形BEGF，则∠EBF=∠FGC,EG=BF,FG=BE=CF，连CG，
故△FCG为等腰三角形，所以∠FCG=∠FGC。
因为∠FCE>∠FGE，所以∠ECG<∠EGC。
故得 CE>EG=BF. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。

证法二 在△ABC中，假设∠B≥∠C，则可在CF上取一点F'，使∠F'BE=∠ECF'，这有CF≥CF'。
延长BF'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'F',有ΔA'BE∽ΔA'CF'.
从而A'B/A'C=BE/CF'≥BE/CF=1.
那么在△A'BC中，由A'B≥A'C，得:
∠A'CB≥∠A'BC，即∠C≥(∠B+∠C)/2，故∠B≤∠C。
再由假设∠B≥∠C，即有∠B=∠C。
所以△ABC为等腰三角形。