Question

高中数学，关于数列的一种类型的题目

1.等比数列[An]中，A1=2，前n项和为Sn，若数列[An+1]也是等比数列,求Sn
2.设各项都不相同的等比数列[An]第一项为a,公比为q,前n项和为Sn,要使数列[p-Sn]为等比数列,求p的值.(这题可以通过等比中项平方等于两边项乘积硬算，但是太复杂了，有什么好方法吗？)
3.[An]是首项为1,公差为2的等差数列,Bn=An/(2^n),Tn为Bn的前n项和是否存在常数k使得数列[(Tn+k)/A(n+2)]是等比数列?请证明
4.等差数列[An]前n项和为Sn,若OB=A1*OA+A200*OC,(OB,OA,OC都是向量)且A,B,C三点共线(此线不过原点),求S200

需要过程哦,我知道打上来很麻烦,不过希望大家帮帮我,其实也可以写在纸上用摄像头照下来传到空间然后发出来,这样比较方便吧(*^__^*) 嘻嘻……

答得好还会追加的!

Answer 1

1.设{An}公比为q,{An +1}公比为q'，则An=2*q^n-1,An +1=3*q'^n-1,
1+2*q^n-1=3*q'^n-1对任意n满足，
由n=2，n=3，得1+2q=3q'，1+2q^2=3q'^2,解方程组得q=q'=1,
Sn=2n

2. sn=a(1-q^n)/1-q,
p-sn=[p(1-q)-a(1-q^n)]/1-q=[p(1-q)-a+aq^n]/1-q
p-sn+1=[p(1-q)-a+aq^n+1]/1-q
(p-sn+1)/(p-sn)=1+a(q-1)q^n/[p(1-q)-a+aq^n]=c(与n无关)
则p(1-q)-a=0,即p=a/(1-q)

3.a1=1,d=2,an=2n-1,bn=(2n-1)/2^n,
tn=b1+b2+...+bn=1/2+3/4+5/8+...+(2n-3)/2^n-1 +(2n-1)/2^n
2tn=1+3/2+5/4+7/8+...+(2n-1)/2^n-1
tn=2tn-tn=1+2/2+2/4+2/8+...+2/2^n-1- (2n-1)/2^n
=1+1[1-(1/2)^n-1]/(1-1/2)-(2n-1)/2^n
=1+2-4/2^n-(2n-1)/2^n
=3-(3+2n)/2^n
设wn=tn+ k/an+1=(k+3)/(2n+3) -1/2^n
wn+1=tn+1 +k/an+2=(k+3)/(2n+5) -1/2^n+1
wn+1/wn=1/2+[(k+3)/(2n+5)-1/2(k+3)/(2n+3)]/[(k+3)/(2n+3)-1/2^n]=c(与n无关)，所以k+3=0，k=-3

4.由OB=A1*OA+A200*OC,(OB,OA,OC都是向量)且A,B,C三点共线(此线不过原点),
及***矢量平行四边形法则知A1+A200=1/2，所以s200=200*(A1+A200)/2=50

Answer 2

1.A(n+1)/An=q
[S(n+1)-Sn]/[Sn-S(n-1)]=q ＊1
[A(n+1)+1]/[An+1]=k(常数)
[S(n+1)-Sn+1]/[Sn-S(n-1)+1]=k(常数) ＊2
将＊1式代入＊2式中 可得
k=q+(1-q)/[Sn-S(n-1)+1]
k.q为定值 故Sn-S(n-1) 为定植 An为定植
An为常数列
Sn=2n

2.等比中项平方等于两边项乘积算 已经是个好办法

3.An=1+(n-1)*2=2n-1
Bn=(2n-1)/(2^n)
Tn=1/2+3/(2^2)+5/(2^3)+...+(2n-1)/(2^n)+k @1
(1/2)Tn=1/(2^2)+3/(2^3)+...+(2n-3)/(2^n)++(2n-1)/[2^(n+1)]+0.5k @2
@1- @2 得Tn
再用1中设常数方法做

Answer 3

算法基本都一样1.A(n+1)/An=q
[S(n+1)-Sn]/[Sn-S(n-1)]=q ＊1
[A(n+1)+1]/[An+1]=k(常数)
[S(n+1)-Sn+1]/[Sn-S(n-1)+1]=k(常数) ＊2
将＊1式代入＊2式中 可得
k=q+(1-q)/[Sn-S(n-1)+1]
k.q为定值 故Sn-S(n-1) 为定植 An为定植
An为常数列
Sn=2n

2.等比中项平方等于两边项乘积算 已经是个好办法

3.An=1+(n-1)*2=2n-1
Bn=(2n-1)/(2^n)
Tn=1/2+3/(2^2)+5/(2^3)+...+(2n-1)/(2^n)+k @1
(1/2)Tn=1/(2^2)+3/(2^3)+...+(2n-3)/(2^n)++(2n-1)/[2^(n+1)]+0.5k @2
@1- @2 得Tn