Question

已知函数f(x)=1/x-log2(1+x/1-x),求证f(x)的定义域与单调性

Answer 1

定义域(1+x)/(1-x)>0,且分母x不等于0
所以(1+x)(1-x)>0
(x+1)(x-1)<0
-1<x<1且x不等于0
所以定义域(-1,0)∪(0,1)

令0<a<b<1,
f(a)-f(b)=1/a-log2[(1+a)/(1-a)]-1/b+log2[(1+b)/(1-b)]
=(b-a)/ab+log2{[(1+b)/(1-b)]}/[(1+a)/(1-a)]}
=(b-a)/ab+log2[(1-a)(1+b)/(1+a)(1-b)]
=(b-a)/ab+log2[(1-a+b-ab)/(1+a-b-ab)]
因为b>a,a>0,b>0,所以(b-a)/ab>0
因为b>a,所以-a+b>0>a-b
所以1-a+b-ab>1+a-b-ab
且1+a-b-ab=(1+a)(1-b)，b<1.a>0,所以分母=(1+a)(1-b)>0
所以1-a+b-ab>1+a-b-ab两边除大于0的1+a-b-ab
得(1-a+b-ab)/(1+a-b-ab)>1
所以log2(1-a+b-ab)/(1+a-b-ab)>0
所以(b-a)/ab+log2[(1-a+b-ab)/(1+a-b-ab)]>0
f(a)-f(b)>0
所以f(x)在0<x<1是减函数

f(-x)=-1/x-log[(1-x)/(1+x)]
=-1/x-log2[(1+x)/(1-x)]^(-1)
=-1/x+log2 [(1+x)/(1-x)]
=-f(x)
且定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数

因为0<a<b<1时f(a)-f(b)>0
则-1<-b<-a<0时，f(-b)-f(-a)=-f(b)+f(a)>0
所以f(x)在-1<x<0也是减函数

综上，f(x)在(-1,0)和(0,1)都是减函数

Answer 2

定义域是1+x/1-x>0且x不等于0 解得x<1.
求单调性可以先设X1,X2两个值且X1<X2在区间上
然后利用F(X1)-F(X2)的值带入看它们的差是正还是负的就行
具体的我就不做了。你自己试试看。

Answer 3

定义域是1+x/1-x>0且x不等于0
单调性要分开球，因为1/x是减函数，x/1-x可化为-1-1/(x-1)是增函数，所以log2(1+x/1-x）是增函数，前面加上负号变为减函数，所以两个减和起来也是减，所以函数单调递减

Answer 4

你们会数学吗