Question

怎么比较log以2为底3的对数与log以3为底4的对数的大小

这两个数都大于一.以上的问题都是很容易比较的,而这个问题不容易比较

Answer 1

____我先直接给出答案log2(3)<log3(4)，这是怎么来的，除非很特殊的对数大小的比较，否则我想这个地球上没有任何人可以三言两语说清楚的，除非您直接看用函数绘图软件画出来的函数图像；否则请您往下看我很耐心的给出的主要证明和应用过程。至于您有没有耐心看完，是您自己的事情，！

____这样具体的分析不是个办法，我来给出一个彻底的解决方法：
我证明了函数y=logx(x+a)，x∈(0，1)∪(1，+∞)，0<a；
在定义域(0，1)上单调递减，且在这一定义域上的函数值均小于0；
在定义域(1，+∞)上单调递减，且在这一定义域上的函数值均大于1；

用法有三类，使用时a可取任意正数，如下述所示：

第一类应用：在定义域(0，1)上取0<x1<x2<1，则logx1(x1+a)>logx2(x2+a)；
例如log(1/6)|(1/2)>log(1/2)|(5/6)、log(2/5)|(3/5)>log(3/5)|(4/5)；
log(1/2)|(5/2)>log(2/3)|(8/3)、log(1/2)|(5/6)>log(2/3)|(1)等等；

第二类应用：在定义域(1，+∞)上取1<x1<x2，则logx1(x1+a)>logx2(x2+a)；
例如log2(3)>log3(4)、log5(10)>log10(15)等等；

第三类应用：在定义域(0，1)和定义域(1，+∞)上分别取一个值，
即取0<x1<1<x2，则logx1(x1+a)<0<1<logx2(x2+a)； （说明：这一类应用就是我开头所说的，特殊的一类对数大小的比较，可以直接分析，因为与0或1这些具体的特殊值作比较来间接比较对数大小，并不难）
例如log(1/2)|(5/2)>log(2)|(4)、log(1/3)|(2)>log(3)|(29/6)

相关证明如下：我只先给出x∈(1，+∞)时的证明；
分析函数y=logx(x+a)，x∈(1，+∞)，0<a；
在定义上的单调性，常用方法是求导：
y′=(logx(x+a))′=(ln(x+a)/lnx)′
=((ln(x+a))′×lnx-ln(x+a)×(lnx)′)/(lnx)²
=((1/(x+a))×lnx-ln(x+a)×(1/x))/(lnx)²
=((lnx/(x+a))-(ln(x+a)/x))/(lnx)²
=(xlnx-(x+a)ln(x+a))/(x(x+a)(lnx)²)
=(lnx^x-ln(x+a)^(x+a))/(x(x+a)(lnx)²)
由x∈(1，+∞)，0<a；可知分母(x(x+a)(lnx)²)>0；
现在要判断当x∈(1，+∞)，0<a时，分子(lnx^x-ln(x+a)^(x+a))
的符号；

____观察函数y=lnx^x，它在(1，+∞)上，如果x是大于1的实数，那么x^x必然会随着x的增大而增大，这个容易想得到，要证明的话，又比较麻烦了；
即函数y=lnx^x，它在(1，+∞)上是单调增函数，又0<a，

则lnx^x<ln(x+a)^(x+a)，即lnx^x-ln(x+a)^(x+a)<0；
即y′在x∈(1，+∞)时，小于0，说明函数y=logx(x+a)，x∈(1，+∞)，0<a；
在其定义域上是单调递减函数。

令a=1，则y=logx(x+1)，x∈(1，+∞)，0<a；
在定义域(1，+∞)上取x的值1<2<3；
则有log2(3)<log3(4)

____补充：如果上述函数y=logx(x+a)，x∈(0，1)，0<a；的单调性的证明更加繁琐，您有兴趣可以再问我

Answer 2

log3 4=2log3 2
设log2 3=x,x>0
即比较x与2/x的大小。假设x>2/x
x-2/x=(x^2-2)/x>0<==>x^2-2>0
<==>x>根号2[负值舍去]

问题转化为求证：log2 3>根号2
即，log（2 3）>log[2 (2^根号2)]
即证：3>2^(根号2）.......的确不易证。

Answer 3

两者相除得（lg3）^2/(lg2*lg4)
由基本不等式可知：lg3*lg3>lg2*lg4
所以（lg3）^2/(lg2*lg4)>1
即以2为底3的对数>以3为底4的对数

Answer 4

log(m)n=lgn/lgm。(m是底数）
log以根号3为底2的对数=a，求log以12为底3的对数
a=log(√3)2
=lg2/lg3^(1/2)
=2lg2/lg3
log（12）3=lg3/lg12=lg3/(2lg2
lg3)=1/(2lg2/lg3
1)=1/(a
1)
已知log以3为底2的对数=a，3的b次方=7，求log以12为底56的对数
a=lg2/lg3；b=log(3)7=lg7/lg3。b/a=lg7/lg2.
log(12)56=lg56/lg12
=(lg7
lg8)/(lg3
lg4)
=(lg7
3lg2)/(lg3
2lg2)
=(lg7/lg2
3)/(lg3/lg2
2)
=(b/a
3)/(1/a
2)
=(3a
b)/(2a
1)