Question

如图，已知点P在正方体ABCD—A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDA=60度

（1）求DP与CC'所成叫的大小（2）求DP与平面AA'D'D所成角的大小

Answer 1

如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标
系D-xyz．则DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)，BD′=(-1，-1，1)．
设P（x，y，z）则BP=λBD′，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）
∴x=1-λy=1-λz=λ，则DP=(1-λ，1-λ，λ)，由已知，＜DP，DA＞=60°，
∴λ2-4λ+2=0，解得λ=2-2，∴DP=(2-1，2-1，2-2)（4分）
（Ⅰ）因为cos＜DP，CC′＞=2-22(2-1)=22，
所以＜DP，CC′＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0，1，0)．
因为cos＜DP，DC＞=2-12(2-1)=12，所以＜DP，DC＞=60°．
可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

Answer 2

如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标
系D-xyz．则DA=(1，0，0)，CC′=(0，0，1)，BD′=(-1，-1，1)．
设P（x，y，z）则BP=λBD′，∴（x-1，y-1，z）=（-λ，-λ，λ）
∴x=1-λy=1-λz=λ，则DP=(1-λ，1-λ，λ)，由已知，＜DP，DA＞=60°，
∴λ2-4λ+2=0，解得λ=2-2，∴DP=(2-1，2-1，2-2)（4分）
（Ⅰ）因为cos＜DP，CC′＞=2-22(2-1)=22，
所以＜DP，CC′＞=45°．即DP与CC'所成的角为45°．（8分）
（Ⅱ）平面AA'D'D的一个法向量是DC=(0，1，0)．
因为cos＜DP，DC＞=2-12(2-1)=12，所以＜DP，DC＞=60°．
可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°．（12分）

Answer 3

以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.
则=（1，0，0），=(0,0,1).
连接BD,B′D′.
在平面BB′D′D中,
延长DP交B′D′于H.
设=(m,m,1) (m＞0),由已知〈,〉=60°,
由·=||||cos〈, 〉,
可得2m=.
解得m=,所以=（,,1）.
(1)因为cos〈,〉==,
所以〈,〉=45°,
即DP与CC′所成的角为45°.
(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).
因为cos〈,〉==,
所以〈,〉=60°,
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.

Answer 4

180-（90-60）-90=60°