Question

若α∈（0，π/2），则sin2α/sin²α+4cos²α的最大值为？

Answer 1

解由sin2α/sin²α+4cos²α
=2sinαcosα/（sin²α+4cos²α）
=2sinαcosα/cos^2a/（sin²α+4cos²α）/cos^2a
=2tana/(tan^2a+4)
令t=tana，则t＞0
故sin2α/sin²α+4cos²α
=2t/(t^2+4)
=2/(t+4/t)
注意t+4/t≥2√t×4/t=4
即t+4/t≥4
即0＜1/(t+4/t)≤1/4
即0＜2/(t+4/t)≤1/2
即0＜sin2α/sin²α+4cos²α≤1/2
故
sin2α/sin²α+4cos²α的最大值为1/2.

Answer 2

sin2α/(sin²α+4cos²α)=2sinαcosα/(sin²α+4cos²α)
=2tanα/(tan²α+4)
=2/[tanα+(4/tanα)]
∵tanα+(4/tanα)≥2√[tanα*(4/tanα)]=4
∴0<1/[tanα+(4/tanα)]≤1/4
∴0<2/[tanα+(4/tanα)]≤1/2
即0<sin2α/(sin²α+4cos²α)≤1/2

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