Question

高一数学解答题第11题，最好可以写出来

Answer 1

11.函数y=log‹a›(x+3)-1(a>0，且a≠1)的图像过定点A，若点在直线mx+ny=1上，其中m，n>0，
求(1/m)+(2/n)的最小值。
解：不管底数a为何值，当x=-2时总有y=-1，因此函数y=log‹a›(x+3)-1的图像过定点A(-2，-1)；
A在直线mx+ny+1=0上，因此有-2m-n+1=0，(m>0，n>0)，即有2m+n=1.
因为2m+n=1，且m>0，n>0，因此可设2m=sin²t，n=cos²t；即m=(sin²t)/2，n=cos²t，于是：
(1/m)+(2/n)=(2/sin²t)+(2/cos²t)=2(cos²t+sin²t)/(sin²tcos²t)=2/[(1/4)sin2t]≧2/(1/4)=8
即当2t=π/2，t=π/4，也就是m=1/4，n=1/2时(1/m)+(2/n)获得最小值8.

Answer 2

由已知得A的坐标为(-2,-1)
所以2m+n=1
所以1/m+2/n=(1/m+2/n)(2m+n)=4+(n/m+4m/n)≥4+4=8
其中等号在n/m=2，即m=1/4，n=1/2时成立，
所以1/m+2/n的值为8