Question

已知函数f（x）=2lnx-x2-ax．（Ⅰ）当a≥3时，讨论函数f（x）在[12，+∞）上的单调性；（Ⅱ）如果x1，x2

已知函数f（x）=2lnx-x2-ax．（Ⅰ）当a≥3时，讨论函数f（x）在[12，+∞）上的单调性；（Ⅱ）如果x1，x2是函数f（x）的两个零点，且x1＜x2＜4x1，f′（x）是函数f（x）的导函数，用x1，x2表示a并证明：f′（2x1+x23）＞0．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=2lnx-x²-ax，
∴f′(x)＝

2

x

?2x?a=

?(2x2+ax?2)

x

(x＞0)，
令f'（x）=0得x＝

?a+ a2+16

4

  （负根舍去），
∵a≥3，
∴a²+16≤a²+4a+4，
∴

a2+16

≤a+2，
∴?a+

a2+16

≤2，
故在[

1

2

，+∞)上恒成立
∴在[

1

2

，+∞)上函数f（x）单调递减；                                   
（Ⅱ）（Ⅱ）∵x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）的两个零点，
∴f（x₁）=2lnx₁-x₁²-ax₁=0，f（x₂）=2lnx₂-x₂²-ax₂=0，
两式相减可得：2ln

x2

x1

-（x₂²-x₁²）-a（x₂-x₁）=0，
∴a=

2ln x2 x1

x2?x1

-（x₂+x₁），
∵f′(x)＝

2

x

?2x?a，
∴f′(

2x1+x2

3

)=

6

2x1+x2

-