Question

设函数y=f（x）是定义在R + 上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+

设函数y=f（x）是定义在R + 上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x＞1时，f（x）＜0；（3）f（3）=-1，（I）求f（1）、 f( 1 9 ) 的值；（II）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．（III）如果存在正数k，使不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，求正数k的取值范围．

Answer 1

（I）令x=y=1易得f（1）=0． 而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且 f(9)+f( 1 9 )=f(1)=0 ， 得 f( 1 9 )=2 ． （II）设0＜x 1 ＜x 2 ＜+∞，由条件（1）可得 f( x 2 )-f( x 1 )=f( x 2 x 1 ) ， 因 x 2 x 1 ＞1 ，由（2）知 f( x 2 x 1 )＜0 ， 所以f（x 2 ）＜f（x 1 ）， 即f（x）在R + 上是递减的函数． 由条件（1）及（I）的结果得： f[x(2-x)]＜f( 1 9 ) 其中0＜x＜2，由函数f（x）在R + 上的递减性，可得： x(2-x)＞ 1 9 0＜x＜2 ， 由此解得x的范围是 (1- 2 2 3 ，1+ 2 2 3 ) ． （III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化为 kx(2-x)＞ 1 9 且0＜x＜2， 得 k＞ 1 9x(2-x) ，此不等式有解，等价于 k＞[ 1 9x(2-x) ] min ， 在0＜x＜2的范围内，易知x（2-x） max =1， 故 k＞ 1 9 即为所求范围．