Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；（3）当x＞y＞e-1时，求证：ex?y＞ln(x+1)ln(y+1)．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝a?

1

x

＝

ax?1

x

，
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，f'（x）＜0得0＜x＜

1

a

，f'（x）＞0得x＞

1

a

，
∴f（x）在(0，

1

a

)上递减，在(

1

a

，+∞)上递增，
即f（x）在x＝

1

a

处有极小值．
∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．（4分）
（注：分类讨论少一个扣一分．）
（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴a=1，…（5分）
∴f(x)≥bx?2?1+

1

x

?

lnx

x

≥b，…（6分）
令g(x)＝1+

1

x

?

lnx

x

，可得g（x）在（0，e²]上递减，在[e²，+∞）上递增，…（8分）
∴g(x)min＝g(e2)＝1?

1

e2

，即b≤1?

1

e2

．（9分）
（Ⅲ）证明：ex?y＞

ln(x+1)

ln(y+1)

?

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，（10分）
令g(x)＝

ex

ln(x+1)

，
则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，
又∵g′(x)＝

ex[ln(x+1)? 1 x+1 ]

ln2(x+1)

，
显然函数h(x)＝ln(x+1)?

1

x+1

在（e-1，+∞）上单调递增．（12分）
∴h(x)＞1?

1

e

＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，
即

ex

ln(x+1)

＞

ey

ln(y+1)

，
∴当x＞y

Answer 2

函数定义域为x>0，对函数f(x)求导得
f'(x)=a-1/x
极值点为f'(x)=0=a-1/x，即x=1/a
（1）讨论：
当a≤0时，f'(x)<0恒成立，即函数单调递减，无极值点
当a>0时，f(x)在x=1/a处取得极值，即极值点个数为1个
（2）函数在x=1处取得极值，则a=1，f(x)=x-1-lnx
f(x)≥bx-2恒成立，即(1-b)x+1≥lnx恒成立
即直线y=(1-b)x+1始终在曲线u=lnx的上方
直线过定点(0,1)，始终在曲线上方，则二者无交点
首先，直线斜率1-b必然大于0，否则必与曲线有交点，即有b<1
其次，直线斜率必大于曲线过点(0,1)的切线斜率，否则也有交点
对曲线求导得u'=1/x，即切线斜率为u'=1/x
设切点为p(m,n)，则有u'(m)=1/m=(n-1)/m=>n=2
u(m)=lnm=n=2=>m=e²
直线斜率大于曲线斜率，则有1-b>1/m=1/e²，解得b<1-1/e²
∴实数b的取值范围为b<1-1/e²
（3）e-1<y<x=>x-y>0,x+1>y+1>e
ln(x+1)>ln(y+1)>1,e^(x-y)>1
令g(t)=e^t/ln(t+1),则g'(t)=e^t[ln(t+1)-1/(t+1)]/ln²(t+1)
由于ln(t+1)-1/(t+1)=[(t+1)ln(t+1)-1]/(t+1)
在t+1>e时，有(t+1)ln(t+1)-1>0，∴g'(t)>0此时恒成立
∴g(t)在t+1>e时为增函数
∴当x>y>e-1时，有g(x)>g(y)
即e^x/ln(x+1)>e^y/ln(y+1)
两边同乘以e^(-y)*ln(x+1)即可得
e^(x-y)>{ln(x+1)}/{ln(y+1)}