Question

已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=ex-1．（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+a2x2，a＞0，讨论F（x）的单调

已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=ex-1．（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+a2x2，a＞0，讨论F（x）的单调性：（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞），若都有f（x2）-f（x1）≤a（x2-x1）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）对任意的x2＞x1＞0，试比较f（x2）-f（x1）与g（x2-x1）的大小并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）F（x）=2f（x）-（a+1）x+

a

2

x²，x∈（-1，+∞），a＞0
∴F′（x）=

2

x+1

-（a+1）+ax=

a(x? 1?a a )(x?1)

x+1

当0＜a＜

1

2

时，F（x）在（-1，1）和（

1

a

-1，+∞）上单调递增，在（1，

1

a

? 1）上单调递减
当a=

1

2

时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
当a＞

1

2

时，F（x）在（-1，

1

a

?1）和（1，+∞）上单增，在（

1

a

?1，1）上单减，
当a=

1

2

时，F（x）在（-1，+∞）上单调递增
（II）不妨设x₂＞x₁≥0，由题意得f（x₂）-f（x₁）≤ax₂-ax₁，
f（x₂）-ax₂≤f（x₁）-ax₁
∴令t（x）=f（x）-ax
∴?x₂＞x₁≥0，总有t（x₂）≤t（x₁）
∴t（x）在[0，+∞）上单减，
∴t′(x)＝

1

x+1

?a≤0在[0，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x+1

在[0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
（III）由（II）得，令a=1．得f（x₂）-f（x₁）≤x₂-x₁，
设h（x）=g（x）-x=e^x-x-1（x＞0）
h^′（x）=e^x-1＞0
∴h（x）在[0，+∞）上单增，
∴h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞x
又∵x₂-x₁＞0，
∴g（x₂-x₁）＞x₂-x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）≤x₂-x₁＜g（x₂-x₁）
∴f（x₂）-f（x₁）＜g（x₂-x₁）