Question

已知等差数列{a n }中，公差d＞0，其前n项和为S n ，且满足a 2 ?a 3 =45，a 1 =a 4 =14．（1）求数列{a n

已知等差数列{a n }中，公差d＞0，其前n项和为S n ，且满足a 2 ?a 3 =45，a 1 =a 4 =14．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设由b n = S n n+c （c≠0）构成的新数列为{b n }，求证：当且仅当c=- 1 2 时，数列{b n }是等差数列；（3）对于（2）中的等差数列{b n }，设c n = 8 ( a n +7)? b n （n∈N * ），数列{c n }的前n项和为T n ，现有数列{f（n）}，f（n）=T n ?（a n +3- 8 b n ）?0.9 n （n∈N * ），是否存在n 0 ∈N * ，使f（n）≤f（n 0 ）对一切n∈N * 都成立？若存在，求出n 0 的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵等差数列{a n }中，公差d＞0， ∴ a 2 ? a 3 =45 a 1 + a 4 =14 ? a 2 ? a 3 =45 a 2 + a 3 =14 ? a 2 =5 a 3 =9 ?d=4? a n =4n-3 （3分） （3分） （2） S n = n(1+4n-3) 2 =n(2n-1) ， b n = S n n+c = n(2n-1) n+c ， 由2b 2 =b 1 +b 3 得 12 2+c = 1 1+c + 15 3+c ，化简得2c 2 +c=0，c≠0， ∴ c=- 1 2 反之，令 c=- 1 2 ，即得b n =2n，显然数列{b n }为等差数列， ∴当且仅当 c=- 1 2 时，数列{b n }为等差数列．（9分） （3）c n = 8 ( a n +7)? b n = 1 (n+1)n = 1 n - 1 n+1 ，∴ T n =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + …+ 1 n - 1 n+1 f（n）=Tn?（ a n +3- 8 b n ）?0.9 n = n n+1 ?(4n- 4 n ) ? 0.9 n =4（n-1）?0.9 n （11分） ∵f（n+1）-f（n）=4?0.9 n [0.9n-（n-1）]=4?0.9 n [1-0.1n]n∈N + ∴当n＜10时，f（n+1）＞f（n），当n=10时，f（n+1）=f（n），当n＞10时，f（n+1）＜f（n）， f（n） max =f（10）=f（11），（13分） ∴存在n 0 =10或11，使f（n）≤f（n 0 ）对一切n∈N * 都成立．（14分）