Question

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． （1）求证：平面AEC⊥平面PDB； （2）

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． （1）求证：平面AEC⊥平面PDB； （2）当 且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．





Answer 1

（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC⊥平面PDB． （Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点， ∴OE∥PD， ， 又∵PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，  ， ∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．