（本小题满分12分）已知椭圆 ，离心率为 的椭圆经过点 .（1）求该椭圆的标准方程；（2）过椭圆的一个
（本小题满分12分）已知椭圆，离心率为的椭圆经过点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线分别与椭圆交于和，是否存在常数，使得？若存在，求出实数...
（本小题满分12分）已知椭圆 ，离心率为 的椭圆经过点 .（1）求该椭圆的标准方程；（2）过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线 分别与椭圆交于 和 ，是否存在常数 ，使得 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由.
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| （1）  （2）存在实数 ，使得 .理由见解析 |
| 试题分析：（1）由题可知  ，即 ，由此得  ，故椭圆方程是 ，将点  的坐标代入，得 ，解得 ，故椭圆方程是 . ……4分（2）问题等价于  ，即 是否是定值问题.椭圆的焦点坐标是  ，不妨取焦点 ，当直线  的斜率存在且不等于零时，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 ，代入椭圆方程并整理得  设  ，则 . ……6分根据弦长公式，  = =  = ……8分以  代换 ，得 ……9分所以  即  ……10分当直线 的斜率不存在或等于零时， 一个是椭圆的长轴长，一个是通径长度，此时  ，即 .综上所述，故存在实数 ，使得
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