Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n=1，2，3，L），数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n=1，2，3，L），数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．（1）求数列{an}，{bn}的通项an，bn；（2）若Tn为数列{bn}的前n项和，证明：当n≥2时，2Sn＞Tn+3n．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-2
∴s_n-1=2a_n-1-2（n≥2）
∵a_n=s_n-s_n-1（n≥2）
∴a_n=2a_n-2a_n-1
∴

an

an?1

＝2（n≥2）即数列{a_n}为等比数列
∵a₁=s₁=2a₁-2
∴a₁=2
∴a_n=2ⁿ
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上
∴b_n+1-b_n=2∵b₁=1∴b_n=2n-1
（2）证明：由已知sn＝

2(1?2n)

1?2

＝2n+1?2，Tn＝

n

2

(1+2n?1)=2n即证明不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立
下面用数学归纳法给出证明：
①当n=2时，2ⁿ⁺²=16，n²+3n+4=14，不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即2^k+2＞k²+3k+4成立，
那么当 n=k+1时2^k+3＞2k²+6k+8．
以下只需证明2k²+6k+8≥（k+1）²+3（k+1）+4成立
即只需证明k²+k≥0成立，因为k≥2时k²+k≥0成立
所以当n=k+1时不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立
综合①②知原不等式成立．