Question

已知函数 f(x)=alnx+ 1 2 x 2 +(a+1)x+1 ．（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调增区间；（2

已知函数 f(x)=alnx+ 1 2 x 2 +(a+1)x+1 ．（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a＞0，且对任意x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），x 1 ≠x 2 ，都有|f（x 1 ）-f（x 2 ）|＞2|x 1 -x 2 |，求实数a的最小值．

Answer 1

（1）当a=-1时，f（x）=-lnx+ 1 2 x 2 +1． 则f′（x）=- 1 x +x．  令f′（x）＞0，得 - 1 x +x＞0 ，即 x 2 -1 x ＞0 ，解得：x＜0或x＞1． 因为函数的定义域为{x|x＞0}， 所以函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）． （2）由函数 f(x)=alnx+ 1 2 x 2 +(a+1)x+1 ． 因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数， 所以f′（x）= a x +x+a+1 = x2+(a+1)x+a x = (x+1)(x+a) x ≥0对x∈（0，+∞）恒成立．  即x+a≥0对x∈（0，+∞）恒成立． 所以a≥0．  即实数a的取值范围是[0，+∞）． （3）因为a＞0，由（2）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数． 因为x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），x 1 ≠x 2 ，不妨设x 1 ＞x 2 ，所以f（x 1 ）＞f（x 2 ）． 由|f（x 1 ）-f（x 2 ）|＞2|x 1 -x 2 |恒成立，可得f（x 1 ）-f（x 2 ）＞2（x 1 -x 2 ）， 即f（x 1 ）-2x 1 ＞f（x 2 ）-2x 2 恒成立． 令g（x）=f（x）-2x= alnx+ 1 2 x 2 +(a+1)x+1-2x ，则g（x）在（0，+∞）上应是增函数．   所以g′（x）= a x +x+（a+1）-2= x2+(a-1)x+a x ≥0对x∈（0，+∞）恒成立． 即x 2 +（a-1）x+a≥0对x∈（0，+∞）恒成立． 即a≥- x2-x x+1 对x∈（0，+∞）恒成立 因为- x2-x x+1 =-（x+1+ 2 x+1 -3）≤3-2 2 （当且仅当x+1= 2 x+1 即x= 2 -1时取等号）， 所以a≥3-2 2 ． 所以实数a的最小值为3-2 2 ．