Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）=0，当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（-x）（其中f′（

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）=0，当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（-x）（其中f′（x）是f（x）的导函数），则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）A．（-∞，-1）∪（0，1）B．（-∞，-1）∪（1，+∞）C．（-1，0）∪（0，1）D．（-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜-f（-x），即xf′（x）+f（x）＜0，
∴[xf（x）]′＜0，
∴令F（x）=xf（x），则F（x）为奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，
∵f（1）=0，且f（-1）=0
∴F（1）=F（-1）=0，
∴不等式xf（x）＞0等价为F（x）＞0，
∴

x＜0 F(x)＞F(?1)

或

x＞0 F(x)＞F(1)

∴

x＜0 x＜?1

或

x＞0 x＜1

即x∈（-∞，-1）∪（0，1），
∴原不等式的解集为：（-∞，-1）∪（0，1），
故选A．