Question

设F1,F2分别是椭圆C：x²/a²+y²/b²=1a>b>0)的左右焦点,M是C上一点且MF2与

设F1,F2分别是椭圆C：x²/a²+y²/b²=1a>b>0)的左右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
1）若直线MN的斜率为3/4,求C的离心率.2）若直线MN在y轴上截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

Answer 1

原题是:设F1、F2分别是椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.1)若直线MN的斜率为3/4,求C的离心率；2)若直线MN在y轴上截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a、b。
(1)不妨设M在x轴上方。
由已知 F1(-c,0),F2(c,0) 其中c是半焦距
且 M(c,b²/a)
得 (b²/a-0)/(c-(-c))=3/4
2b²=3ac,
2c²+3ac-2a²=0
2e²+3e-2=0
解得 e=1/2
所以 C的离心率e=1/2
(2) 由直线MN在y轴上截距为2得: |MF2|=4
M(c,4)
过N作x轴的垂线交x轴于N'
则ΔNN'F1与ΔMF2F1相似
又|MN|=5|F1N| 得 |MF1|:|F1N|=4:1(相似比)
得|NN'|=1,|N'F1|=c/2
N(-3c/2,-1)
M、N都在椭圆上得
c²/a²+4²/b²=1
且(-3c/2)²/a²+(-1)²/b²=1
且a²=b²+c²
解得 a=7,b=2√7
所以 a=7,b=2√7

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