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证明：
不失一般性，令：
F(x)=f[x+(1/2)] - f(x)
根据题意，显然，F(x)在[0,1/2]上连续
又∵
F(0)=f(1/2)-f(0)
F(1/2)=f(1)-f(1/2)
根据题意：
f(0)=f(1)
∴
F(0)= -F(1/2)
根据零点定理，至少∃ξ∈(0,1/2)，使得：
F(ξ)=0
即：
f[ξ+(1/2)] - f(ξ)=0
因此：
f[ξ+(1/2)]=f(ξ)
当：F(0)=F(1/2)=0时，
有：f(1)-f(1/2)=0
f(1)=f(1/2)
取ξ=1/2，则：f[ξ+(1/2)]=f(ξ)也成立
综上：
至少∃ξ∈(0,1/2]，使得：f[ξ+(1/2)]=f(ξ)
证毕！
另：本题区间题设有误！
不失一般性，令：
F(x)=f[x+(1/2)] - f(x)
根据题意，显然，F(x)在[0,1/2]上连续
又∵
F(0)=f(1/2)-f(0)
F(1/2)=f(1)-f(1/2)
根据题意：
f(0)=f(1)
∴
F(0)= -F(1/2)
根据零点定理，至少∃ξ∈(0,1/2)，使得：
F(ξ)=0
即：
f[ξ+(1/2)] - f(ξ)=0
因此：
f[ξ+(1/2)]=f(ξ)
当：F(0)=F(1/2)=0时，
有：f(1)-f(1/2)=0
f(1)=f(1/2)
取ξ=1/2，则：f[ξ+(1/2)]=f(ξ)也成立
综上：
至少∃ξ∈(0,1/2]，使得：f[ξ+(1/2)]=f(ξ)
证毕！
另：本题区间题设有误！
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谢谢
最后求得的ξ∈(0,1/2]
为什么是一开一闭呢？
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