Question

这个结论是错误的，证明之。

Answer 1

给个反例给你就行了.
分段函数y=x²sin(1/x),x≠0.y=0,x=0
当x→0时,y→0=f(0)是连续的,这个函数在R上都连续,并且在0的任意去心邻域上因为y=x²sin(1/x),所以都是可导的,其导数f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x).当x→0时,因cos(1/x)极限不存在,f'(x)的极限也就不存在.
但根据导数的定义,在x=0处的导数我们写过一遍
f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)x²sin(1/x)/x=lim(x→0)xsin(1/x)=0
因此在f'(0)处导数是存在的.

追问

我知道能举出反例😂我想问一下，能不能从上图中的①②推导出③呢？

追答

可以啊,①是函数在x=x0处导数的定义式,②是自变量的变化量Δx→0.可导必连续,所以Δy→0

追问

如果能推出来的话，岂不是证明我一开始提出来的那个结论是正确的？😂

追答

你是在逗我吗?
洛必达法则仅仅是充分条件,不是必要条件.
即当f/g是0/0时,如果f'/g'=A,那么f/g=A
但反之不成立,即如果f/g=A,那么f'/g'=A是错的.

追问

恍然大悟😂