Question

一道关于概率密度的题

一道关于概率密度的题第一问求Y=X2的概率密度，这种题一直不会

Answer 1

做这种题要理解概率密度函数和分布函数，还要会一元微积分
概率密度函数:可以理解为在一个点的概率
比如对于上图的概率密度函数f(x),可以先这样理解，x取在(-1,0)的每个点的概率都是1/2
而x取在(0，2)的每个点的概率都是1/4
x取在其余的点的概率是0
分布函数:很多时候知道在一个点的概率并没卵用，比如你想猜测明天你会喝多少水的的概率，
就可能猜(2L,3L)的概率是1/2
(3L,4L)的概率是1/2
小于2L的概率是0，大于4L的概率也是0
但是在数学上希望用一个函数来表示出来，于是就出现了分布函数F(x),它就表示一个区间的概率，但它是从-∞算起的， 也就是说它表示的是(-∞，x)的概率，比如F(1)就是(-∞，x)的概率
接下来是把概率密度函数和分布函数联系在一起，一个是在一点的概率，一个是在一个区间的概率，区间由很多点组成，区间的概率就是把这些点的概率加起来，这就要用到积分了。
拿这个题目来说，,当x小于-1时，F(x)=0(也可写成P(X<x)=0)，用积分来算，∫ 0dx(这里积分下限是-∞,上限是x)
当x大于-1小于0时F(x)=(1/2)x+1/2(也可写成P(X<x)=(1/2)x+1/2) 即 ∫ 0dx(这里积分下限是-∞,上限是0)+∫ 1/2dx(这里积分下限是-1,上限是x)
当x大于0小于2时 F(x)=(1/4)x+1/2 即 ∫ 0dx(这里积分下限是-∞,上限是0)+∫ 1/2dx(这里积分下限是-1,上限是0)+∫1/4dx(这里积分下限是0,上限是x)
当x大于2时，F(x)=1 即 ∫ 0dx(这里积分下限是-∞,上限是0)+∫ 1/2dx(这里积分下限是-1,上限是0)+∫ 1/4dx(这里积分下限是0,上限是x)+∫ 0dx(这里积分下限是0,上限是x)
这是由概率密度求分布函数，是积分
当然也可以由分布函数求密度函数，即求导
这题要求Y的概率密度，不能直接求，要先求Y的分布函数，再求Y的概率密度函数
这就是解析的那部分