Question

大概是泰勒公式习题，求解

大概是泰勒公式习题，求解设P(x)为n次多项式，
1)若P(a)，P'(a)，…，P(n)(a)皆为正数，试证p(x)=0在(a，+∞)无实根．
2)若p(a)，P'(a)，…，P(n)(a)的正负号相间，证明p(x)在(-∞，a)无实根．

Answer 1

将p（x）写成泰勒展开式：
1)因为x>a，所以（x-a）^n>0,所以泰特展开式的每一项都是大于0的，即p(x)在（a，正无穷）上恒大于0，故不会有实根；
2）将泰勒展开式两两作为一组看待，因为（x-a）^n的系数是正负相间的，（x-a）^n也是正负相间的，故该整体在（负无穷，a）上一定是同号的，故恒大于0或恒小于0，所以不会有实根

追问

到最后的一个pn(ξ)如何证明为正数呢

Answer 2

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f(x)在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间(a,b)上具有(n+1)阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x

Answer 3

有点难度

追问

。。。。