Question

帮我求下这个积分

帮我求下这个积分最后那个结果是怎么得出来哒

Answer 1

解：分享两种解法。设I=∫(-∞,∞)Ae^(-t²/2)dt，其中A=1/√(2π)。
①，显然，f(t)=Ae^(-t²/2是T~N(0,1)的密度函数，∴根据密度函数的性质，有I=∫(-∞,∞)Ae^(-t²/2)dt=1。
②转化成二重积分求解。∵I=∫(-∞,∞)Ae^(-t²/2)dt=∫(-∞,∞)Ae^(-s²/2)ds，
∴I²=∫(-∞,∞)Ae^(-t²/2)dt∫(-∞,∞)Ae^(-s²/2)ds=A²∫(-∞,∞)dt∫(-∞,∞)e^[-(t²+s²)/2)ds。
设t=rcosθ，s=rsinθ，∴I²=A²∫(0,2π)dθ∫(0,∞)re^(-r²/2)dr=A²∫(0,2π)dθ=1，∴I=1。
供参考。