Question

为什么limx→0(1+x)^2/x=e^{2ln(1+x)/x}中ln(1+x)为什么不能直接等价替换成x，高数求极限

问题1.为什么不能用重要极限算(1+x)^2/x问题2.(1+x)^2/x=e^{2ln(1+x)/x}中ln(1+x)为什么不能直接等价替换成x，x同样是趋于0啊。注：张宇题源1000题2020版第一章1.3

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Answer 1

你想用泰勒展开可以鸭
但是只展开到x是不够的，看起来消掉等于零了，但其实分子上还有无穷小量，恰好分母也是一个无穷小量，两个无穷小量的比值还不确定呢，直接抛弃分子的无穷小量就会错误了
你尝试展开到x - 0.5*x^2就对了

Answer 2

替换的条件是要满足limx→0 f(x)=0，就是要求分子或分母是在x→0时的无穷小。分子不满足条件，当然不能换。这个根据无穷大和无穷小的关系可知，极限不存在，为∞。

Answer 3

a→0 lim(e^a - 1)/a=1
所以
x→0 lim e^{2ln(1+x)/x -2} - 1可以替换成2ln(1+x)/x - 2

Answer 4

ln(1+x)和x之间相差一个高阶无穷小，有时候高阶无穷小经过计算后也可以得到很大的值，尤其在涉及高阶无穷小的除法和指数函数

Answer 5

为什么这个可以直接等价了，在加减法中不是不可以用等价吗，2ln(1+x)/x,后边不是还有一个2吗