Question

∫e^x（x-1）/x²dx

Answer 1

解：∫（-π/4到π/4）
(cosx)2/[1+e^(-x)]dx
=∫（-π/4到0）
(cosx)2/[1+e^(-x)]dx+∫（0到π/4）
(cosx)2/[1+e^(-x)]dx
对第一个积分式，令t=-x代换下，有：
∫（-π/4到0）
(cosx)2/[1+e^(-x)]dx
(
t=-x，则dx=-dt)
=∫（π/4到0）
(cost)2/[1+e^t](-dt)
=∫（0到π/4）
(cost)2/[1+e^t]dt
=∫（0到π/4）
(cosx)2/[1+e^x]dx
故：原积分式
=∫（0到π/4）
(cosx)2/[1+e^x]dx+∫（0到π/4）
(cosx)2/[1+e^(-x)]dx
=∫（0到π/4）
[(cosx)2/(1+e^x)+(cosx2)e^x/(e^x+1)]dx
=∫（0到π/4）
(1+cos2x)/2dx
=(x+1/2*sin2x)|（0到π/4）
=π/4+1/2