Question

如图，在三角形ABC中，AB=BC,BE⊥AC与点E，AD⊥BC与点D，角BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.

求证：BF=2AE
若CD=根号2，求AD的长。

Answer 1

Answer 2

1）∵AD⊥BC，∠BAD=45°
∴△ABD为等腰直角三角形
∴∠ABD=∠BAD=45°
∴AD=BD
∵BE⊥AC
∴∠CAD+∠AEF=90°
∵AD⊥BC
∴∠FBD+∠BFD=90°
∵∠AFE=∠BFD
∴∠CAD=∠FBD
∴△ADC全等于△BDF
∴AC=BF
∵AB=BC,BE⊥AC
∴AC=2AE
即BF=2AE
2）
∵AB=BC，AD=BD
∴AB=BC=AD+根号2
∵△ABD为等腰直角三角形
∴AB=根号2AD
根号2+AD=根号2AD
AD=2+根号2

Answer 3

（1）∵AD⊥BC,∠BAD=45°，∴⊿ADB是等腰直角三角形，AD=BD；
∵AB=BC，BE⊥AC,，∴AE=EC,，AC=2AE，
∵Rt⊿EBC与Rt⊿DAC有公用锐角∠C,，∴∠EBC=∠DAC，
可证Rt⊿DBF≌Rt⊿DAC,，得BF=AC=2AE。
（2）BE⊥AC AB=BC ∠ABE=∠CBE 即∠ABF=∠CBF
AB=CB ∠ABF=∠CBF BF=BF △ABF≌△CBF
AF=CF
∠BAD=45 ∠ADB=90 ∠ABD=45
∠BAD=(180-45)/2=67.5 ∠DAC=67.5-45=22.5
∠DBF=45/2=22.5
∠ABD=∠BAD BD=AD ∠DBF=∠DAC=22.5
RT△BDF≌RT△ADC DF=DC=√2
∠FDC=90 AF=CF=√2CD=2
AD=AF+DF=2+√2