Question

已知直线l与抛物线y^2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1y2=-1

Answer 1

证明：（1）设直线l的方程为x=ay+b
∵A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y^2=x上
∴x1=y1^2,x2=y2^2
∵A,B也在直线l上
∴x1=y1^2=ay1+b,x2=y2^2=ay2+b
∴可得方程组y1^2-ay1-b=0
∴y1,y2是方程y^2-ay-b=0的两个根
y2^2-ay2-b=0
∴y1+y2=a,y1*y2=-b
∵y1*y2=-1
∴b=1
∴直线l的方程为x=ay+1
∵l与x轴交于点M
∴令y=0,此时x=1
∴M的坐标为（1，0），得证
（2）∵向量OA=(y1^2,y1),向量OB=（y2^2,y2)
∴向量OA*（此处应该用点乘符号，但我打不出来，抱歉）向量OB=y1^2*y2^2+y1*y2=(y1*y2)^2+y1*y2
∵y1*y2=-1
∴向量OA*向量OB=（-1）^2+(-1)=1-1=0
∴向量OA⊥向量OB
∴OA⊥OB，得证
（3）S△AOB=S△AOM+S△BOM=(1/2)*OM*｜y1｜+(1/2)*OM*｜y2｜=(1/2)*1*(｜y1｜+｜y2｜)=(1/2)*(｜y1｜+｜y2｜)
∵y1*y2=-1
∴y1,y2异号
∴｜y1｜+｜y2｜=｜y1-y2｜
∵｜y1-y2｜=√(y1+y2)^2-4y1*y2
且y1+y2=a,y1*y2=-1
↓
(这是根号，后面的式子都包括在里面,下同）
∴｜y1-y2｜=√a^2+4
∴
S△AOB=(1/2)*
√a^2+4
∵a∈R
∴a^2的最小值为0
∴S△AOB的最小值=（1/2）*2=1

Answer 2

解：（1）设M点的坐标为（x
0
，0），直线l方程为x=my+x
0
，
代入y
2
=x得y
2
-my-x
0
=0①，
y
1
，y
2
是此方程的两根，
∴x
0
=-y
1
y
2
=1，即M点的坐标为（1，0）．
（2）∵y
1
y
2
=-1，
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=y
1
2
y
2
2
+y
1
y
2
=y
1
y
2
（y
1
y
2
+1）=0
∴OA⊥OB．
（3）由方程①，y
1
+y
2
=m，y
1
y
2
=-1，且|OM|=x
0
=1，
于是S△AOB=
1
2
|OM||y1-y2|=
1
2
(y1+y2)2-4y1y2
=
1
2
m2+4
≥1，
∴当m=0时，△AOB的面积取最小值1．