Question

ax+1的绝对值小于等于2-x，对x属于【0.5-1】恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

解：|ax+1|≤2-x,对x∈[0.5,1]恒成立，则
(ax+1)²≤(2-x)²，
a²x²+2ax+1≤4-4x+x²
(a²-1)x²+(2a+4)x-3=[(a+1)x-1][(a-1)x+3]≤0，对x∈[1/2，1]恒成立
令f(x)=[(a+1)x-1][(a-1)x+3]=0，得x1=1/(a+1)，x2=-3/(a-1)
(1)若f(x)≤0的解为
-3/(a-1)≤x≤1/(a+1)，为使x∈[1/2，1]恒成立,则应取1/(a+1)≥1，即a+1≤1，a≤0
-3/(a-1)≤1/2，即a-1≥-6，a≥-5
1/(a+1)>-3/(a-1)，即
a-1>-3(a+1)，a>-1/2
所以
-1/2<a≤0；
(2)若f(x)≤0的解为 1/(a+1)≤x≤-3/(a-1)，则
1/(a+1)≤1/2，即
a+1≥2，a≥1
-3/(a-1)≥1，即a-1≤-3，a≤-2
-3/(a-1)>1/(a+1)，即
-3(a+1)>a-1，a<-1/2
所以
a不存在；
(3)当a=1时,得x≤1/2，不合题意.
(4)当a=-1时,得x≤3/2，故a=-1是可取的.
总是，a的取值范围是(-1/2,0]∪{-1}