Question

高分求 高一数学题 直线与圆的方程

一、已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的取值 变式1：已知园 x²+y²+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求圆心坐标级半径 变式2：设O为原点，曲线 ²+y²+2x-6y+1=0 有两点P、Q，满足关于直线 x+my+4=0 对称，有满足 向量OP ·向量OQ=0 求（1）m的值 （2）直线PQ的方程 变式题3：已知方程x²+y²-2x-4y+m=0 （1）若此方程表示圆，求m取值 （2）若（1）中的圆与直线交于M N两点，且OM⊥ON（O为原点），求m （3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程 二、已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线L：mx-y+1-m=0 （1）求证：对m∈R，直线L与圆C总有两个不同交点 （2）设L于圆C交于不同点A、B，求弦AB的中点M 的轨迹方程 （3）若定点P（1,1）分弦AB为AP/PB=1/2，求此时直线L方程 求大神啊！~

Answer 1

一、解：x²+y²+x-6y+m=0
(x+1/2)^2+(y-3)^2=37/4-m>0,
解得：m<37/4
变式1：圆方程与直线方程联立，
得：5y²-20y+12+m=0
根与系数关系可得
y1+y2=4
y1y2=(12+m)/5
①
则x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2=-15+4(12+m)/5
②
OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0
由①、②式可得
m=3
则圆方程x²＋y²＋x－6y＋3＝0
(x+1/2)²+（y-3)²=25/4
所以坐标(-1/2,3)，半径5/2
变式2：曲线为圆，整理得（x+1)^2+(y-3)^2=9
圆心在（-1，3），半径为3
直线过（-4，0）（当y=0时）
因为两点关于直线对称，所以，直线过圆心
将圆心坐标代入直线函数
-1+3m+4=0
m=-1
直线函数为x-y+4=0，斜率为1
PQ垂直此直线，所以斜率为-1
设PQ中点横坐标为a则，纵坐标为a+4
到O点的距离为根号（a^2+(a+4)^2)=根号(2a^2+8a+16)
到P和Q点的距离为根号（9-(a+1)^2-(a+4-3)^2)=根号(-2a^2-4a+7)
所以4a^2+12a+9=0
a=-3/2
PQ中点坐标为（-3/2,5/2)
PQ直线为(y-5/2)/(x+3/2)=-1
整理得x+y-4=0
变式题3：解：(1)曲线C方程化为(x-1)²+(y-2)²=5-m
显然当5-m>0，即m<5时曲线C是圆。
(2)设M，N坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，
把x+2y-4=0，即y=2-(x/2)代入圆C方程，得
x²+(2-x/2)²-2x-4(2-x/2)+m=0，整理得
5x²-8x+4(m-4)=0
该方程有实根，即Δ=(-8)²-4*5*4(m-4)=-16(5m-24)>0
解得m<4.8
由韦达定理得x1+x2=8/5,x1x2=4(m-4)/5
由OM⊥ON，得(x1,y1)*(x2,y2)=0(向量OM与向量ON内积为0)，即
x1x2+y1y2=0，而
y1y2=(2-x1/2)(2-x2/2)=4-(x1+x2)+x1x2/4
=4-8/5+(m-4)/5=(m+8)/5，故
x1x2+y1y2=4(m-4)/5+(m+8)/5=(5m-8)/5=0
解得m=1.6<4.8，故m的值为1.6。
(3)以MN为直径，且OM⊥ON，故所求圆过原点。
M，N中点O`坐标：((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，即(4/5,2-(4/5)/2)
亦即(4/5,8/5)，此即为所求圆的圆心，O`O即为半径。
O`O²=(4/5-0)²+(8/5-0)²=16/5
故以MN为直径圆的方程为(x-4/5)²+(y-8/5)²=16/5
二、
（1）证明：圆与直线恒有交点可以将两个方程转化为x的方程或者y的方程然后看其△值（b*b-4ac）来判断，只要△值恒大于0就可以判断恒有2个交点，中学知识；
x2+（y-1）2=5；
mx-y+1-m=0；
可以得到关于x的方程(m^2+1)x^2-2m^2x+m^2-5=0;
所以△=b*b-4ac=4*（4m*m+5）；
无论m∈R为何值，显然△恒大于0；
所以得证直线l与圆C总有两个不同的交点A
B；
（2）设A（x1,y1)B(x2,y2)
l:m(x-1)+1
x1^2+(y1-1)^2=5
x2^2+(y2-1)^2=5
所以(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-2)(y1-y2)=0
设M（x,y)
则2x=x1+x2,2y=y1+y2
所以2x=(2y-2)m=0
又m=(y-1)/(x-1)
2x=(2y-2)(y-1)/(x-1)
整理得x^2+y^2-x-2y+1=0
（3）直线l：mx-y+1-m=0，y-1=m（x-1），直线l过定点（1,1）。
作平行于x轴，且过圆心（0,1）的直线，交圆于MN两点，显然，PM=（√5）-1，PN=（√5）+1，由弦割线定理，PM/PA=PB/PN，PA·PB=PA·2PA=2PA²=PM·PN=【（√5）-1】·【（√5）+1】=5-1=4，∴PA²=2。
∵PA²=（x-1）²+（y-1）²=2，
又因为A点在圆上，A点坐标满足圆方程x²+（y-1）²=5，联立方程组，解得，
x=2，
代入解得，y=0或2，
∴A（2,0）或A（2,2）。
由两点确定直线，得，
y-1=【（0-1）/（2-1）】·（x-1）=
-（x-1），得y+x-2=0直线一条；
y-1=【（2-1）/（2-1）】·（x-1）=x-1，得，y=x另一条直线。【解答完毕】