Question

已知{an}为等差数列，且a2=-1，a5=8．（I）求数列{|an|}的前n项...

已知{an}为等差数列，且a2=-1，a5=8． （I）求数列{|an|}的前n项和； （II）求数列{2n•an}的前n项和．

Answer 1

解：（I）设等差数列{an}的公差为d，
因为a2=-1，a5=8，所以a1+d=-1a1+4d=8
解得a1=-4，d=3，…（2分）
所以an=-4+3（n-1）=3n-7，…（3分）
因此|an|=|3n-7|=-3n+7，n=1，23n-7，n≥3…（4分）
记数列{|an|}的前n项和为Sn，
当n=1时，S1=|a1|=4，
当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5，
当n≥3时，Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=5+(n-2)[2+(3n-7)]2=32n2-112n+10，
又当n=2时满足此式，
综上，Sn=4，n=132n2-112n+10，n≥2…（8分）
（II）记数列{2nan}的前n项和为Tn，由（I）可知，a1=-4，d=3，an=3n-7，
则Tn=2a1+22a2+23a3+…+2nan，①
2Tn=22a1+23a2+24a3+…+2nan-1+2n+1an，②
①-②可得-Tn=2a1+d(22+23+…+2n)-2n+1an
=-8+3×22(1-2n-1)1-2-2n+1（3n-7）
=-8+3（2n+1-4）-2n+1（3n-7）
=-20-（3n-10）2n+1，
故Tn=20+（3n-10）2n+1…（13分）