Question

2014数学中考徐州最后一题答案

28. （本题10分）如图，矩形ABCD的边AB=75px，AD=100px，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG.
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长.

Answer 1

分析：

（1）只要证到三个内角等于90°即可．
（2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=[(

3CF)^2]/4．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．

解答：

解：（1）证明：如图1，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠CFE=∠CGE=90°．
∵EG⊥EF，
∴∠FEG=90°．
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．
∴四边形EFCG是矩形．

（2）①存在．
连接OD，如图2①，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°．
∵点O是CE的中点，
∴OD=OC．
∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，
∴△CFE∽△DAB．

∴S△CFE/S△DAB=（CF/DA）^2．

∵AD=4，AB=3，
∴BD=5，
S△CFE=（CF/4）^2•S△DAB=CF^2/16×1/2×3×4=[(3CF)^2]/8．

∴S矩形ABCD=2S△CFE=[(3CF)^2]/4．

∵四边形EFCG是矩形，
∴FC∥EG．
∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，
∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，
∴∠GDC+∠CDB=90°．
∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示．）

此时，CF=CB=4．
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，
如图2②所示，
此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．
Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′，
如图2③所示．
S△BCD=1/2BC•CD=1/2BD•CF″′．

∴4×3=5×CF″′．
∴CF″′=12/5．

∴12/5≤CF≤4．

∵S矩形ABCD=[(3CF)^2]/4，

∴3/4×（12/5）^2≤S矩形ABCD≤[3/4]×4^2．

∴108/25≤S矩形ABCD≤12．

∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为108/25．

②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，
∴点G的移动路线是线段DG″．
∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°，
∴△DCG″∽△DAB．
∴DC/DA=DG″/DB．

∴3/4=DG″/5．

∴DG″=15/4．

∴点G移动路线的长为15/4．