Question

在三角形ABC中，角A B C对边分别为abc，若A B C成等差数列，2a,2b,3c成等比数列

在三角形ABC中，角A B C对边分别为abc，若A B C成等差数列，2a,2b,3c成等比数列，求cosAcosB

Answer 1

A、B、C成等差数列，则2B=A+C
A+B+C=π
3B=π
B=π/3
2a，2b，3c成等比数列，则
(2b)²=(2a)(3c)
b²=(3/2)ac
由正弦定理得
sin²B=(3/2)sinA·sinC
sinA·sinC=sin²B/(3/2)=sin²(π/3)/(3/2)=(√3/2)²/(3/2)=1/2
sinA·sin(A+B)=1/2
sinA·(sinAcosB+cosAsinB)=1/2
sin²Acos(π/3)+sinAcosAsin(π/3)=1/2
(1/2)sin²A+(√3/2)sinAcosA=1/2
(1/4)[1-cos(2A)]+(√3/4)sin(2A)=1/2
(√3/2)sin(2A)-(1/2)cos(2A)=1/2
sin(2A-π/6)=1/2
A为三角形内角，又B=π/3
0<A<π-π/3=2π/3
0<2A-π/6<3π/2
2A-π/6=π/6或2A-π/6=5π/6
A=π/6或A=π/2
A=π/6时，cosAcosB=cos(π/6)·cos(π/3)=(√3/2)·(1/2)=√3/4
A=π/2时，cosAcosB=cos(π/2)·cos(π/3)=0·(1/2)=0

追问

#是什么意思

追答

不是智能手机的话，可能会显示乱码。
为了书写简便明确，用到的数学符号比较多。如果有条件的话，在电脑上看解题过程，如无法使用电脑看，请追问，我把数学符号都改一下，不过指数只好在前面加^的方式表示了。