Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB= ，点E是棱PB的中点。 （1）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB= ，点E是棱PB的中点。 （1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

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Answer 1

解：（1）如图，在矩形ABCD中，AD∥BC， 从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离 因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB， 由PA=AB知△PAB为等腰直角三角形， 又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB 又在矩形AB-CD中，BC⊥AB， 而AB是PB在底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE 从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离， 在Rt△PAB中， 所以 ； （2）过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G， 则∠DFG为所求的二面角的平面角 由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC， 得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而 在Rt△CBE中， 由 所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD· 因为AE⊥平面PBC，设AE⊥CE，又FG⊥CE，知 从而 ，且G点为AC的中点 连结DG，则在Rt△ADG中， 所以 。