Question

函数f（x）=x2-alnx（a∈R）（1）讨论f（x）的单调性（2）设函数Y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l

函数f（x）=x2-alnx（a∈R）（1）讨论f（x）的单调性（2）设函数Y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线为l，若l在点A处穿过函数y=f（x）的图象（即动点在点A附近沿曲线y=f（x）运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求a的值（3）若a＞0，函数y=f（x）的图象与直线y=ax有且只有一个公共点，求a的值．

Answer 1

（1）由已知得，f′(x)＝2x?

a

x

＝

2x2?a

x

，且函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，令f′（x）=0，得x＝?

a 2

（舍），x=

a 2

．
当x∈(0，

a 2

)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈(

a 2

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上，a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
a＞0时，f（x）在(0，

a 2

)上单调递减，在(

a 2

，+∞)上单调递增；
（2）由f（1）=1，f′（1）=2-a知，f（x）在点A（1，f（1））处的切线l的方程为：
y=（2-a）（x-1）+1．
∵l在点A处穿过函数y=f（x）的图象，
∴令h（x）=f（x）-[（2-a）（x-1）+1]=x²-alnx-[（2-a）（x-1）+1]．
则h（x）在x=1两边附近的函数值异号，则x=1不是函数的极值点．
而h′(x)＝2x?

a

x

?(2?a)＝

(2x+a)(x?1)

x

．
若1≠?

a

2

，则x=1和x=?

a

2

都是函数的极值点，
∴1=?

a

2

，即a=-2；
（3）由题意知方程x²-alnx-ax=0有唯一实数解，
设g(x)＝2x?

a

x

?a＝

2x2?ax?a

x

．
令g′（x）=0，解得x1＝

a? a2+8a

4

（舍），x2＝

a+ a2+8a

4

．
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
∴当x=x₂时，g（x）取得最小值g（x₂）．
则要使方程f（x）=ax有唯一实数解，只有

g′(x)＝0 g(x)＝0

，
即

2x22?ax2?a＝0 x22?alnx2?ax2＝0

，即2alnx₂+ax₂-a=0．
∵a＞0，
∴2lnx₂+x₂-1=0．
设u（x）=2lnx+x-1，则x＞0时，u′(x)＝

2

x

+1＞0，u（x）单调递增，
∴u（x）至多有一解，
又∵u（1）=0，
∴方程2alnx₂+ax₂-a=0的解为x₂=1．
即

a+ a2+8a

4

＝1，解得a=1．