Question

在复平面内，复数z1=-8+53i，z2=-3，z3=3所对应的点为A、B、C，以A、B、C为顶点的三角形为△ABC（Ⅰ）求

在复平面内，复数z1=-8+53i，z2=-3，z3=3所对应的点为A、B、C，以A、B、C为顶点的三角形为△ABC（Ⅰ）求∠B（Ⅱ）求以B、C为焦点且过点A的双曲线的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知点A、B、C的坐标分别为(?8，5

3

)，(?3，0)，(3，0)，…．（1分）
则
法一：|AB|=10，|BC|=6，|AC|=14…（3分）
所以由余弦定理知cosB＝

102+62?142

2×10×6

＝?

1

2

…（5分）
又B∈（0，π）所以B＝

2

3

π…..（6分）
法二：

BA

＝(?5，5

3

)，

BC

＝(6，0)…（3分）
故cosB＝

BA ? BC

| BA | BC ||

＝

?30

10×6

＝?

1

2

…（5分）
又B∈（0，π）所以B＝

2

3

π…（6分）
（Ⅱ）由双曲线的定义可知2a=||AB|-|AC||=|10-14|=4…（9分）
故a=2，又c=3，∴b²=5…（11分）
所以所求双曲线的方程为

x2

4

?

y2

5

＝1…（12分）